Đáp án:
$\left[\begin{array}{l}m = 0\\m = \pm\dfrac{\sqrt6}{9} -\dfrac23\end{array}\right.$
Giải thích các bước giải:
Phương trình hoành độ giao điểm giữa $(P)$ và $(d)$
$\quad x^2 = 3mx + 3m +1$
$\Leftrightarrow x^2 - 3mx - 3m -1=0\quad (*)$
$(d)$ cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt
$\Leftrightarrow (*)$ có hai nghiệm phân biệt
$\Leftrightarrow \Delta_{(*)}>0$
$\Leftrightarrow 9m^2 + 4(3m+1)>0$
$\Leftrightarrow (3m+2)^2 >0$
$\Leftrightarrow m \ne -\dfrac23$
Khi đó, $x_1;\, x_2$ là hai nghiệm phân biệt của $(*)$
Áp dụng định lý Viète ta được:
$\begin{cases}x_1 + x_2 = 3m\\x_1x_2 = -3m-1\end{cases}$
Theo đề ta có:
$\quad y_1- y_2 = 2m$
$\Rightarrow (y_1 - y_2)^2 = 4m^2$
$\Leftrightarrow [(3mx_1 + 3m +1) - (3mx_2 + 3m +1)]^2 = 4m^2$
$\Leftrightarrow 9m^2(x_1 - x_2)^2 = 4m^2$
$\Leftrightarrow 9m^2[(x_1+x_2)^2 - 4x_1x_2]^2 = 4m^2$
$\Leftrightarrow 9m^2[9m^2 + 4(3m+1)]^2= 4m^2$
$\Leftrightarrow 9m^2(3m+2)^4= 4m^2$
$\Leftrightarrow m^2[9(3m+2)^4 -4]=0$
$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}m^2 = 0\\(3m+2)^4 = \dfrac49\end{array}\right.$
$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}m = 0\\m = \pm\dfrac{\sqrt6}{9} -\dfrac23\end{array}\right.\quad (nhận)$
