$(P): y = ax^2 (1)$
$(d): y = x + \dfrac{3}{2}$
a) Cho $x = -2$ thay vào $ y = x + \dfrac{3}{2}$ ta có:
$y = - 2+ \dfrac{3}{2}$
⇔ $y = \dfrac{-1}{2}$
⇒ $(d)$ đi qua điểm $A\bigg(-2;\dfrac{-1}{2}\bigg)$
Để $(P)$ cắt $(d)$ tại $A$ thì thay $x = - 2; y =\dfrac{-1}{2}$ vào $(1)$ ta có:
$\dfrac{-1}{2} = a(-2)^2$
⇔$a = \dfrac{-1}{8}$
b) Với $a = \dfrac{-1}{8}$ thì $(P): y = \dfrac{-1}{8}x^2 (1)$
Xét phương trình hoành độ giao điểm của $(P)$ và $(d)$ ta có:
$\dfrac{-1}{8}x^2 = x + \dfrac{3}{2}$
⇔ $\dfrac{1}{8}x^2 + x + \dfrac{3}{2} =0$
⇔ $x^2 + 8x + 12 = 0$
$\Delta' = 4^2 - 12 . 1 = 4 > 0 ⇒ \sqrt{\Delta} = 2$
⇒ $x_1 = \dfrac{-4 + 2}{1} = -2 ⇒ y_1 = - 2 + \dfrac{3}{2} = \dfrac{-1}{2}$
$x_2 = \dfrac{-4 - 2}{1} = -6 ⇒ y_2 = - 6 + \dfrac{3}{2} = \dfrac{-9}{2}$
Vậy khi $a = \dfrac{-1}{8}$ thì $(P)$ cắt $(d)$ tại $A\bigg(-2;\dfrac{-1}{2}\bigg)$ và $B\bigg(-6;\dfrac{-9}{2}\bigg)$
