Giải thích các bước giải:
Phương trình $x^2-2(k-3)x+2k-1=0$
a.Để phương trình có nghiệm $x=3$
$\to 3^2-2(k-3)\cdot 3+2k-1=0$
$\to k=\dfrac{13}{2}$
$\to x_1+x_2=2(k-3)=2k-6=7$
Mà phương trình có $1$ nghiệm bằng $3\to$Nghiệm còn lại là $7-3=4$
b.Để phương trình có $2$ nghiệm
$\to \Delta'\ge 0$
$\to (k-3)^2-1\cdot (2k-1)\ge 0$
$\to k^2-8k+10\ge 0$
$\to (k-4)^2\ge 6$
$\to k\le 4-\sqrt6$ hoặc $k\ge 4+\sqrt6$
Khi đó phương trình có $2$ nghiệm $x_1, x_2$ thỏa mãn:
$\begin{cases}x_1+x_2=2(k-3)\\x_1x_2=2k-1\end{cases}$
$\to x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=4(k-3)^2-2(2k-1)=4k^2-28k+38=(2k-7)^2-11\ge -11$
Dấu = xảy ra khi $k=\dfrac72$