CHÚC BẠN HỌC TỐT !!!!!!!!!!
Đáp án:
`m in {- 1/2; 0}`
Giải thích các bước giải:
Phương trình $(*)$:
$x^2 - (2m - 1)x - 2m - 1 = 0$
`<=> x^2 - (2m - 1)x - (2m + 1) = 0`
`\Delta = [- (2m - 1)]^2 - 4.1.[- (2m + 1)]`
`= 4m^2 - 4m + 1 + 8m + 4`
`= 4m^2 + 4m + 5`
`= (2m + 1)^2 + 4 > 0 \forall m in R`
`\to` Phương trình $(*)$ có hai nghiệm phân biệt với mọi `m in R`.
Theo hệ thức Vi - ét:
$\begin{cases}x_1 + x_2 = - \dfrac{b}{a} = 2m - 1\\x_1x_2 = \dfrac{c}{a} = - 2m - 1\\\end{cases}$
Ta có:
$x_1^3 - x_2^3 + 2(x_1^2 - x_2^2) = 0$ $(1)$
`<=> (x_1 - x_2)(x_1^2 + x_1x_2 + x_2^2) + 2(x_1 + x_2)(x_1 - x_2) = 0`
`<=> (x_1 - x_2)[x_1^2 + x_1x_2 + x_2^2 + 2(x_1 + x_2)] = 0`
`<=> (x_1 - x_2)[(x_1 + x_2)^2 - x_1x_2 + 2(x_1 + x_2)] = 0`
TH1:
$x_1 - x_2 = 0$
`<=> x_1 = x_2`
`\to` Loại vì phương trình $(*)$ có hai nghiệm phân biệt.
TH2:
$(x_1 + x_2)^2 - x_1x_2 + 2(x_1 + x_2) = 0$
`<=> (2m - 1)^2 - (- 2m - 1) + 2(2m - 1) = 0`
`<=> 4m^2 - 4m + 1 + 2m + 1 + 4m - 2 = 0`
`<=> 4m^2 + 2m = 0`
`<=> 2m(2m + 1) = 0`
`<=>` \(\left[ \begin{array}{l}m = 0\\m = - \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\)
Vậy `m in {- 1/2; 0}` thì phương trình $(*)$ có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn $(1).$
