Đáp án:
\[m = \dfrac{{23}}{{24}}\]
Giải thích các bước giải:
Ta có:
\(\begin{array}{l}
\left( {x - 2} \right)\left( {3{x^2} - 5x - 4m - 1} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x - 2 = 0\\
3{x^2} - 5x - 4m - 1 = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 2\\
3{x^2} - 5x - 4m - 1 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)
\end{array} \right.
\end{array}\)
Phương trình đã cho có 3 nghiệm khi và chỉ khi phương trình (2) có 2 nghiệm
Do đó,
\(\begin{array}{l}
\Delta > 0\\
\Leftrightarrow {5^2} - 4.3.\left( { - 4m - 1} \right) > 0\\
\Leftrightarrow 25 + 48m + 12 > 0\\
\Leftrightarrow m > - \dfrac{{37}}{{48}}
\end{array}\)
Khi đó, phương trình (2) có 2 nghiệm \({x_2};\,\,{x_3}\) thỏa mãn: \(\left\{ \begin{array}{l}
{x_2} + {x_3} = \dfrac{5}{3}\\
{x_2}{x_3} = - \dfrac{{4m + 1}}{3}
\end{array} \right.\)
Theo giả thiết ta có:
\(\begin{array}{l}
{x_1}^2 + {x_2}^2 + {x_3}^2 = 10\\
\Leftrightarrow {2^2} + \left( {{x_2}^2 + 2{x_2}{x_3} + {x_3}^2} \right) - 2{x_2}{x_3} = 10\\
\Leftrightarrow {\left( {{x_2} + {x_3}} \right)^2} - 2{x_2}{x_3} = 6\\
\Leftrightarrow {\left( {\dfrac{5}{3}} \right)^2} - 2.\left( { - \dfrac{{4m + 1}}{3}} \right) = 6\\
\Leftrightarrow \dfrac{{25}}{9} + \dfrac{{8m + 2}}{3} = 6\\
\Leftrightarrow m = \dfrac{{23}}{{24}}\,\,\,\,\left( {t/m} \right)
\end{array}\)
Vậy \(m = \dfrac{{23}}{{24}}\)
