Đáp án:
1) \(\left[ \begin{array}{l}
m < 0\\
m = 1
\end{array} \right.\)
Giải thích các bước giải:
1) Để phương trình có đúng 1 nghiệm dương
TH1: Phương trình có 2 nghiệm trái dấu
\(\begin{array}{l}
\to 4m < 0\\
\to m < 0
\end{array}\)
TH2: Phương trình có nghiệm kép dương
\(\begin{array}{l}
\to \left\{ \begin{array}{l}
{m^2} + 2m + 1 - 4m = 0\\
2m + 2 > 0\\
4m > 0
\end{array} \right.\\
\to \left\{ \begin{array}{l}
m > 0\\
{m^2} - 2m + 1 = 0
\end{array} \right.\\
\to \left\{ \begin{array}{l}
m > 0\\
{\left( {m - 1} \right)^2} = 0
\end{array} \right.\\
\to m = 1\left( {TM} \right)
\end{array}\)
\(KL:\left[ \begin{array}{l}
m < 0\\
m = 1
\end{array} \right.\)
2) TH1: Phương trình có đúng 1 nghiệm dương
⇒ \(\left[ \begin{array}{l}
m < 0\\
m = 1
\end{array} \right.\)
TH2: Phương trình có 2 nghiệm dương phân biệt
\(\begin{array}{l}
\to \left\{ \begin{array}{l}
{m^2} + 2m + 1 - 4m > 0\\
2m + 2 > 0\\
4m > 0
\end{array} \right.\\
\to \left\{ \begin{array}{l}
m > 0\\
{m^2} - 2m + 1 > 0
\end{array} \right.\\
\to \left\{ \begin{array}{l}
m > 0\\
{\left( {m - 1} \right)^2} > 0
\end{array} \right.\\
\to m > 0
\end{array}\)
\(KL:m \ne 0\)
3) Phương trình có 2 nghiệm
\(\begin{array}{l}
\to {m^2} + 2m + 1 - 4m \ge 0\\
\to {m^2} - 2m + 1 \ge 0\\
\to {\left( {m - 1} \right)^2} \ge 0\left( {ld} \right)\forall m\\
\to \left[ \begin{array}{l}
x = m + 1 + \sqrt {{{\left( {m - 1} \right)}^2}} \\
x = m + 1 - \sqrt {{{\left( {m - 1} \right)}^2}}
\end{array} \right.\\
\to \left[ \begin{array}{l}
x = m + 1 + m - 1 = 2m\\
x = m + 1 - m + 1 = 2
\end{array} \right.\\
Do:2{x_1} - {x_2} = - 2\\
TH1:2.2m - 2 = - 2\\
\to m = 0\\
TH2:2.2 - 2m = - 2\\
\to 2m = 6\\
\to m = 3\\
KL:\left[ \begin{array}{l}
m = 0\\
m = 3
\end{array} \right.
\end{array}\)
\(\begin{array}{l}
4)A = 2\left( {{x_1}^2 + {x_2}^2} \right) - {x_1}{x_2}\\
= 2\left( {{x_1}^2 + {x_2}^2 + 2{x_1}{x_2} - 2{x_1}{x_2}} \right) - {x_1}{x_2}\\
= 2{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 5{x_1}{x_2}\\
= 2{\left( {2m + 2} \right)^2} - 5.4m\\
= 2\left( {4{m^2} + 8m + 4} \right) - 20m\\
= 8{m^2} + 16m + 8 - 20m\\
= 8{m^2} - 4m + 4\\
= 4\left( {2{m^2} - m + 1} \right)\\
= 4\left( {2{m^2} - 2.m\sqrt 2 .\dfrac{1}{{2\sqrt 2 }} + \dfrac{1}{8} + \dfrac{7}{8}} \right)\\
= 4{\left( {m\sqrt 2 - \dfrac{1}{{2\sqrt 2 }}} \right)^2} + \dfrac{7}{2}\\
Do:{\left( {m\sqrt 2 - \dfrac{1}{{2\sqrt 2 }}} \right)^2} \ge 0\forall m\\
\to 4{\left( {m\sqrt 2 - \dfrac{1}{{2\sqrt 2 }}} \right)^2} \ge 0\forall m\\
\to 4{\left( {m\sqrt 2 - \dfrac{1}{{2\sqrt 2 }}} \right)^2} + \dfrac{7}{2} \ge \dfrac{7}{2}\\
\to Max = \dfrac{7}{2}\\
\Leftrightarrow m\sqrt 2 - \dfrac{1}{{2\sqrt 2 }} = 0\\
\to m = \dfrac{1}{4}
\end{array}\)
