Đáp án đúng: D

Phương pháp giải:
a) Thay \(m = 4\) vào phương trình (1) rồi giải phương trình bằng phương pháp đưa về phương trình tích.
b) Tính \(\Delta  = {b^2} - 4ac.\) Chứng minh \(\Delta  \ge 0\) với mọi \(m\) \( \Rightarrow \) Phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi \(m.\)
c) Phương trình đã cho có hai nghiệm \({x_1},\,\,{x_2}\) phân biệt \( \Leftrightarrow \Delta  > 0.\)
Áp dụng hệ thức Vi-et và hệ thức bài cho để giải phương trình tìm \(m.\)
Đối chiếu với điều kiện của \(m\) rồi kết luận.
Giải chi tiết:a) Giải phương trình (1) khi \(m = 4\).
Thay \(m = 4\) vào phương trình (1) ta có:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,{x^2} - 3x - 4 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} + x - 4x - 4 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{x^2} + x} \right) - \left( {4x + 4} \right) = 0\\ \Leftrightarrow x\left( {x + 1} \right) - 4\left( {x + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {x - 4} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 1 = 0\\x - 4 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 1\\x = 4\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy khi \(m = 4\) thì tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ { - 1;4} \right\}\).
b) Chứng minh phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi giá trị của \(m\).
\({x^2} - \left( {m - 1} \right)x - m = 0\,\,\,\left( 1 \right)\) có
\(\begin{array}{l}\Delta  = {\left( {m - 1} \right)^2} - 4.1.\left( { - m} \right)\\\Delta  = {m^2} - 2m + 1 + 4m\\\Delta  = {m^2} + 2m + 1\\\Delta  = {\left( {m + 1} \right)^2} \ge 0\,\,\forall m \in \mathbb{R}\end{array}\)
Vậy phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi giá trị của \(m\).
c) Xác định giá trị của \(m\) để phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\) thỏa mãn: \({x_1}\left( {3 + {x_1}} \right) + {x_2}\left( {3 + {x_2}} \right) =  - 4\).
Theo ý b) ta có \(\Delta  = {\left( {m + 1} \right)^2}\).
Để phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\) thì \(\Delta  > 0\).
\( \Leftrightarrow {\left( {m + 1} \right)^2} > 0 \Leftrightarrow m + 1
e 0 \Leftrightarrow m
e  - 1\).
Khi đó áp dụng định lí Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = m - 1\\{x_1}{x_2} =  - m\end{array} \right.\,\,\left( {m
e  - 1} \right)\).
Theo bài ra ta có:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,{x_1}\left( {3 + {x_1}} \right) + {x_2}\left( {3 + {x_2}} \right) =  - 4\\ \Leftrightarrow 3{x_1} + x_1^2 + 3{x_2} + x_2^2 =  - 4\\ \Leftrightarrow 3\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + \left( {x_1^2 + x_2^2} \right) =  - 4\\ \Leftrightarrow 3\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} =  - 4\\ \Leftrightarrow 3\left( {m - 1} \right) + {\left( {m - 1} \right)^2} - 2.\left( { - m} \right) =  - 4\\ \Leftrightarrow 3m - 3 + {m^2} - 2m + 1 + 2m + 4 = 0\\ \Leftrightarrow {m^2} + 3m + 2 = 0\\ \Leftrightarrow {m^2} + m + 2m + 2 = 0\\ \Leftrightarrow m\left( {m + 1} \right) + 2\left( {m + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {m + 1} \right)\left( {m + 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m + 1 = 0\\m + 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m =  - 1\,\,\,\left( {ktm} \right)\\m =  - 2\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy \(m =  - 2\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Chọn D.