Cho phương trình \({{x}^{2}}+(m+2)x+2m=0 \). Tìm m để phương trình có 2 nghiệm \({{x}_{1}}; \, \,{{x}_{2}} \) thỏa mãn \( \frac{{{x}_{1}}}{{{x}_{2}}}+ \frac{{{x}_{2}}}{{{x}_{1}}}=2. \) A.m = -2 B. m = -1 C. m = 1 D.m = 2
Đáp án đúng: D Giải chi tiết:\({{x}^{2}}+(m+2)x+2m=0\) Ta có : \(\Delta ={{(m+2)}^{2}}-4.1.2m={{m}^{2}}-4m+4={{(m-2)}^{2}}> 0 \Leftrightarrow m \ne 2\) Phương trình luôn có 2 nghiệm \({{x}_{1}};\,\,{{x}_{2}}\) Áp dụng định lí Vi – et ta có: \({{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-(m+2)\,\,;\,\,{{x}_{1}}{{x}_{2}}=2m.\) Theo đề bài ta có: \(\begin{align} & \,\,\,\,\,\,\frac{{{x}_{1}}}{{{x}_{2}}}+\frac{{{x}_{2}}}{{{x}_{1}}}=2\Leftrightarrow \frac{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}{{{x}_{1}}{{x}_{2}}}=2 \\ & \Leftrightarrow \frac{{{({{x}_{1}}+{{x}_{2}})}^{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}}}{{{x}_{1}}{{x}_{2}}}=2 \\ & \Leftrightarrow \frac{{{\text{ }\!\![\!\!\text{ }-(m+2)\text{ }\!\!]\!\!\text{ }}^{2}}-2.2m}{2m}=2\ \ \ \left( m\ne 0 \right) \\ & \Leftrightarrow \frac{m{}^{2}+4m+4-4m}{2m}=2 \\ & \Leftrightarrow \frac{m{}^{2}+4}{2m}=2 \\ & \Leftrightarrow m{}^{2}+4=4m \\ & \Leftrightarrow m{}^{2}-4m+4=0 \\ & \Leftrightarrow {{(m-2)}^{2}}=0 \\ & \Leftrightarrow m=2\,\,\,(tm) \\ \end{align}\) Chọn D.