$\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}=1$
$⇔\frac{x_{1}+x_{2}}{x_{1}x_{2}}=1$
$⇔x_{1}+x_{2}=x_{1}x_{2}$
Để phương trình có $2$ nghiệm phân biệt thì
$Δ>0⇔9-4(m-1)>0⇔4m<13⇔m<3,25$
Theo $Viét$, ta có:
$x_{1}+x_{2}=-3$
$x_{1}x_{2}=m-1$
$⇒x_{1}+x_{2}=x_{1}x_{2}$
$⇔-3=m-1$
$⇔m=-2$ (thỏa mãn)
Vậy $m=-2$ là giá trị cần tìm.