Đáp án:

a)

$\begin{array}{l}
{x^2} + 4mx + 4m - 1 = 0\\
\Delta ' = {\left( {2m} \right)^2} - 4m + 1\\
 = 4{m^2} - 4m + 1\\
 = {\left( {2m - 1} \right)^2} \ge 0
\end{array}$

=> Phương trình có nghiệm với mọi m

b) Để pt có 2 nghiệm cùng dấu thì:

$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
\Delta ' > 0\\
{x_1}.{x_2} > 0
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m\# \dfrac{1}{2}\\
4m - 1 > 0
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m\# \dfrac{1}{2}\\
m > \dfrac{1}{4}
\end{array} \right.\\
Vậy\,m > \dfrac{1}{4};m\# \dfrac{1}{2}
\end{array}$

c) Để pt có 2 nghiệm dương thì:

$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
\Delta ' > 0\\
{x_1} + {x_2} > 0\\
{x_1}{x_2} > 0
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m > \dfrac{1}{4}\\
m\# \dfrac{1}{2}\\
 - 4m > 0
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m > \dfrac{1}{4}\\
m\# \dfrac{1}{2}\\
m < 0
\end{array} \right.\left( {ktm} \right)
\end{array}$

Vậy ko có m để pt có 2 nghiệm dương

d) 

Để pt có 2 nghiệm âm thì:

$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
\Delta ' > 0\\
{x_1} + {x_2} < 0\\
{x_1}{x_2} > 0
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m > \dfrac{1}{4}\\
m\# \dfrac{1}{2}\\
 - 4m < 0
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m > \dfrac{1}{4}\\
m\# \dfrac{1}{2}\\
m > 0
\end{array} \right.\left( {tm} \right)
\end{array}$

$\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow m > \dfrac{1}{4};m\# \dfrac{1}{2}\\
Vậy\,m > \dfrac{1}{4};m\# \dfrac{1}{2}
\end{array}$

e) Pt có 2 nghiệm trái dấu thì:

$\begin{array}{l}
{x_1}.{x_2} < 0\\
 \Leftrightarrow 4m - 1 < 0\\
 \Leftrightarrow m < \dfrac{1}{4}
\end{array}$