Đáp án:
1. Thay m = -1 vào phương trình ta được :
x² + 2x + 4. ( -1 ) + 1 = 0
=>x² + 2x - 3 = 0
Ta có : a + b + c = 1 + 2 + ( -3 )= 0
=> Phương trình có nghiệm : $\left \{ {{x1=1} \atop {x2=\frac{c}{a}=\frac{-3}{1}=-3}} \right.$
Vậy với m = -1 thì hệ phương trình có 2 nghiệm x1 = 1 , x2 = -3
2.
a) Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thì Δ' > 0
=> 1² - ( 4m + 1 ) >0
=>1 - 4m - 1 > 0
=> -4m > 0
=> m < 0
Vậy m < 0 thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.
b ) Để phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu thì a.c < 0
=> 1. ( 4m + 1 ) < 0
=> 4m + 1 < 0
=> 4m < -1
=> m < $\frac{-1}{4}$
Vậy m < $\frac{-1}{4}$ thì phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu.
c ) Do phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt ( câu B ) nên áp dụng hệ thức Viète ( Vi - ét ) cho phương trình ( 1 ) ta có :
$\left \{ {{x1 + x2 = -2 ( 2 ) } \atop {x1.x2=4m+1( 3 )}} \right.$
Theo bài ra : Tổng bình phương các nghiệm của phương trình (1) bằng 11
=> x1² + x2² = 11
=> ( x1² + x2² + 2x1.x2 ) - 2x1.x2 = 11
=> ( x1 + x2 )² - 2x1.x2 = 11 ( 4 )
Thay ( 2 ) , ( 3 ) vào ( 4 ) ta được :
2² - 2.( 4m + 1 )= 11
=> 4 - 8m - 2 = 11
=> - 8m = 9
=> m = $\frac{-9}{8}$
Vậy m = $\frac{-9}{8}$ thì thỏa mãn tổng bình phương các nghiệm của phương trình (1) bằng 11.
