Đáp án đúng: A
Phương pháp giải:
Sử dụng định lý Vi-ét, đặt ẩn phụ để giải phương trình.Giải chi tiết:Do phương trình có hệ số \(a = {m^2} + 5 > 0\) nên là phương trình bậc hai ẩn \(x.\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}\Delta ' = {m^2} + \left( {{m^2} + 5} \right).6m = {m^2} + 6{m^3} + 30m\\ = m\left( {6{m^2} + m + 30} \right) = m\left[ {5{m^2} + {{\left( {m + \dfrac{1}{2}} \right)}^2} + \dfrac{{119}}{4}} \right]\end{array}\)
Phương trình có 2 ngiệm \({x_1};{x_2}\)\( \Leftrightarrow \Delta ' \ge 0 \Leftrightarrow m \ge 0\) (do \(5{m^2} + {\left( {m + \dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{{119}}{4} > 0\,\,\,\forall m\)).
Khi đó, theo định lí Vi-ét ta có:\(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{{2m}}{{{m^2} + 5}}\\{x_1}{x_2} = \dfrac{{ - 6m}}{{{m^2} + 5}}\end{array} \right.\)
Ta có: \({\left( {{x_1}{x_2} - \sqrt {{x_1} + {x_2}} } \right)^4} = 16 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_1}{x_2} - \sqrt {{x_1} + {x_2}} = 2\\{x_1}{x_2} - \sqrt {{x_1} + {x_2}} = - 2\end{array} \right.\)
TH1: \({x_1}{x_2} - \sqrt {{x_1} + {x_2}} = 2 \Leftrightarrow \dfrac{{ - 6m}}{{{m^2} + 5}} - \sqrt {\dfrac{{2m}}{{{m^2} + 5}}} = 2\,\,\,\left( 1 \right)\)
Đặt \(t = \sqrt {\dfrac{{2m}}{{{m^2} + 5}}} \,\,\,\left( {t > 0} \right)\) phương trình (1) trở thành \( - 3{t^2} - t - 2 = 0\) (1’)
Có \({\Delta _{\left( {1'} \right)}} = 1 - 4.\left( { - 3} \right).\left( { - 2} \right) = - 23 < 0 \Rightarrow \)Phương trình (1’) vô nghiệm, do đó phương trình (1) cũng vô nghiệm.
TH2: \({x_1}{x_2} - \sqrt {{x_1} + {x_2}} = - 2 \Leftrightarrow \dfrac{{ - 6m}}{{{m^2} + 5}} - \sqrt {\dfrac{{2m}}{{{m^2} + 5}}} = - 2\,\,\,\left( 2 \right)\)
Đặt \(t = \sqrt {\dfrac{{2m}}{{{m^2} + 5}}} \,\,\,\left( {t > 0} \right)\) phương trình (2) trở thành \( - 3{t^2} - t + 2 = 0\) (2’)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {t + 1} \right)\left( {3t - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = - 1\,\,\,\left( {ktm} \right)\\t = \dfrac{2}{3}\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\\ \Rightarrow \dfrac{{2m}}{{{m^2} + 5}} = \dfrac{4}{9} \Leftrightarrow 4{m^2} - 18m + 20 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {m - 2} \right)\left( {4m - 10} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 2\,\,\,\left( {tm} \right)\\m = \dfrac{5}{2}\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy tất cả các giá trị \(m\) cần tìm là \(m \in \left\{ {2;\dfrac{5}{2}} \right\}\).
Chọn A.
