Đáp án:

$\begin{array}{l}
a)m = 1\\
 \Leftrightarrow 3{x^2} - 2x - 1 = 0\\
 \Leftrightarrow \left( {3x + 2} \right)\left( {x - 1} \right) = 0\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \dfrac{{ - 2}}{3}\\
x = 1
\end{array} \right.\\
Vậy\,x =  - \dfrac{2}{3};x = 1\,khi:m = 1
\end{array}$

b) Phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì:

$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
m\#  - 2\\
\Delta ' > 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m\#  - 2\\
{\left( {2m - 1} \right)^2} - \left( {m + 2} \right)\left( {3m - 4} \right) > 0
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m\#  - 2\\
4{m^2} - 4m + 1 - 3{m^2} - 2m + 8 > 0
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m\#  - 2\\
{m^2} - 6m + 9 > 0
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m\#  - 2\\
{\left( {m - 3} \right)^2} > 0
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m\#  - 2\\
m\# 3
\end{array} \right.
\end{array}$

$Theo\,Viet:\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = \dfrac{{2\left( {2m - 1} \right)}}{{m + 2}}\\
{x_1}{x_2} = \dfrac{{3m - 4}}{{m + 2}}
\end{array} \right.$

Để có 1 nghiệm âm thì có 2 TH xảy ra:

+ 2 nghiệm cùng âm

$\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = \dfrac{{2\left( {2m - 1} \right)}}{{m + 2}} < 0\\
{x_1}{x_2} = \dfrac{{3m - 4}}{{m + 2}} > 0
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
 - 2 < m < \dfrac{1}{2}\\
\left[ \begin{array}{l}
m > \dfrac{4}{3}\\
m <  - 2
\end{array} \right.
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow m \in \emptyset 
\end{array}$

+ 1 nghiệm âm

$\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow {x_1} < 0 \le {x_2}\\
 \Leftrightarrow {x_1}{x_2} \le 0\\
 \Leftrightarrow \dfrac{{3m - 4}}{{m + 2}} \le 0\\
 \Leftrightarrow  - 2 < m \le \dfrac{4}{3}\\
Vậy\, - 2 < m \le \dfrac{4}{3}
\end{array}$