Đáp án:
$m \in \{4;5;6;9\}$
Giải thích các bước giải:
$\quad (m+2)x^2 - 2mx - m + 3 =0\qquad (1)$
a) Phương trình có hai nghiệm
$\Leftrightarrow \begin{cases}m+ 2 \ne 0\\\Delta_{(1)}' \geqslant 0\end{cases}$
$\Leftrightarrow \begin{cases}m\ne -2\\m^2 - (m+2)(-m+3) \geqslant 0\end{cases}$
$\Leftrightarrow \begin{cases}m\ne -2\\2m^2 - m - 6 \geqslant 0\end{cases}$
$\Leftrightarrow \begin{cases}m\ne -2\\\left[\begin{array}{l}m\geqslant 2\\m \leqslant - \dfrac32\end{array}\right.\end{cases}$
Phương trình $(1)$ có nghiệm $x = 2$
Ta được:
$\quad (m+2).2^2 - 2m.2 - m + 3 =0$
$\Leftrightarrow 4m + 8 - 4m - m + 3 =0$
$\Leftrightarrow m = 11$ (nhận)
Theo định lý Vietè ta được:
$\begin{cases}x_1 + x_2 = \dfrac{2m}{m+2}\\x_1x_2 = \dfrac{-m+3}{m+2}\end{cases}$
Nghiệm còn lại của $(1):$
$x = \dfrac{2.11}{11+2} - 2 = -\dfrac{4}{13}$
b) Theo đề ta có:
$\quad \dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2} \in\Bbb Z$
$\Leftrightarrow \dfrac{x_1 + x_2}{x_1x_2} \in\Bbb Z$
$\Leftrightarrow \dfrac{2m}{-m + 3} \in\Bbb Z$
$\Leftrightarrow \dfrac{6}{3-m} - 2 \in \Bbb Z$
$\Leftrightarrow 3 - m \in Ư(6)$
$\Leftrightarrow 3 - m \in \{-6;-3;-2;-1;1;2;3;\}$
$\Leftrightarrow m\in \{9;6;5;4;2;1;0\}$
Do $\begin{cases}m\ne -2\\\left[\begin{array}{l}m\geqslant 2\\m \leqslant - \dfrac32\end{array}\right.\end{cases}$
nên $m \in \{4;5;6;9\}$
