Xét ptrinh
$mx^2 - 2(m+1) x + m + 1 = 0$
Có
$\Delta' = (m+1)^2 - m(m+1) = m + 1$
Để ptrinh có 2 nghiệm thì $\Delta' > 0$ hay $m > -1$.
Khi đó, 2 nghiệm của ptrinh là
$x_1 = \dfrac{m+1-\sqrt{m+1}}{m}, x_2 = \dfrac{m+1+\sqrt{m+1}}{m}$
Dễ thấy rằng $x_1 < x_2$. Vậy để thỏa mãn đề bài thì
$\dfrac{m+1-\sqrt{m+1}}{m} < 1 < \dfrac{m+1+\sqrt{m+1}}{m}$
$<-> \dfrac{1 - \sqrt{m+1}}{m} < 0 < \dfrac{1 + \sqrt{m+1}}{m}$
$<->- \dfrac{\sqrt{m+1}}{m} < -\dfrac{1}{m} < \dfrac{\sqrt{m+1}}{m}$
TH1: $m < 0$
Nhân cả 3 vế với m sẽ làm đổi chiều nên ta có
$-\sqrt{m+1} >-1> \sqrt{m+1}$
Dấu "<" thứ hai là không đúng
Vậy ko có giá trị $m$ nào thỏa mãn.
TH2: $m > 0$
Nhân cả 3 vế với m sẽ ko làm đổi chiều nên ta có
$-\sqrt{m+1} < -1 < \sqrt{m+1}$
Dấu "<" hiển nhiên đúng. Vậy ta chỉ cần
$-\sqrt{m+1} < -1$
$<-> \sqrt{m+1} > 1$
$<-> m + 1 > 1$
$<-> m > 0$
Vậy $m > 0$
Do đó, để $m$ thỏa mãn đề bài thì $m > 0$.
