$\begin{array}{l} {x^3} + \left( {m - 2} \right){x^2} + \left( {{m^2} - 2m - 3} \right)x - 2{m^2} + 6 = 0\\ \Leftrightarrow {x^3} - 2x + m{x^2} - 2mx + \left( {{m^2} - 3} \right)x - 2\left( {{m^2} - 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} + mx + {m^2} - 3} \right) = 0 \end{array}$
Vậy phương trình luôn có 1 nghiệm bằng 2.
Để cho phương trình có 3 nghiệm phân biệt thì phương trình $x^2+mx+m^2-3=0$ có hai nghiệm phân biệt và khác 2
Để cho phương trình có hai nghiệm phân biệt thi
$\begin{array}{l} \Delta > 0 \Leftrightarrow {m^2} - 4\left( {{m^2} - 3} \right) > 0 \Leftrightarrow - 3{m^2} + 12 > 0\\ \Leftrightarrow {m^2} < 4 \Leftrightarrow - 2 < m < 2(1) \end{array}$
Để cho phương trình có hai nghiệm khác 2 thì:
$\begin{array}{l} {2^2} + 2.m + {m^2} - 3 \ne 0\\ \Leftrightarrow {m^2} + 2m + 1 \ne 0 \Leftrightarrow {\left( {m + 1} \right)^2} \ne 0\\ \Leftrightarrow m \ne - 1 (2) \end{array}$
Từ (1) và (2) ta có $\left\{ \begin{array}{l} - 2 < m < - 1\\ - 1 < m < 2 \end{array} \right.$
thì phương trình có ba nghiệm phân biệt.
