Đáp án đúng: A
Phương pháp giải:
- TH1: \(\cos x = 0\).
- TH2: \(\cos x
e 0\): Giải phương trình bậc hai đối với \(\sin x,\,\,\cos x\) bằng cách chia cả hai vế cho \({\cos ^2}x\), đưa phương trình về phương trình bậc hai đối với \(\tan x\).
- Điều kiện để phương trình bậc hai vô nghiệm là \(\Delta < 0\) hoặc \(\Delta ' < 0\).
Giải chi tiết:Xét phương trình \(m{\sin ^2}x + 2\sin x\cos x + 3m{\cos ^2}x = 1\) (*)
TH1: \(\cos x = 0\), phương trình trở thành: \(m = 1\) (luôn đúng).
Khi đó phương trình luôn có nghiệm \(x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \,\,\left( {\,k \in \mathbb{Z}} \right)\) khi \(m = 1\).Loại \(m = 1.\)
TH2: \(\cos x
e 0\). Phương trình không có nghiệm \(x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \,\,\left( {\,k \in \mathbb{Z}} \right)\)
Chia cả hai vế của phương trình (*) cho \({\cos ^2}x\) ta được:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,m{\tan ^2}x + 2\tan \,x + 3m = 1 + {\tan ^2}x\\ \Leftrightarrow \left( {m - 1} \right){\tan ^2}x + 2\tan \,x + 3m - 1 = 0\,\,\left( {**} \right)\end{array}\)
Phương trình (**) vô nghiệm \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m - 1
e 0\\\Delta ' = 1 - \left( {m - 1} \right)\left( {3m - 1} \right) < 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m
e 1\\ - 3{m^2} + 4m < 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m
e 1\\\left[ \begin{array}{l}m > \dfrac{4}{3}\\m < 0\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > \dfrac{4}{3}\\m < 0\end{array} \right.\)
Kết hợp 2 trường hợp ta có: \(m \in \left( { - \infty ;0} \right) \cup \left( {\dfrac{4}{3}; + \infty } \right)\).
Mà \(m \in \mathbb{Z},\,\,m \in \left( {0;2019} \right)\)\( \Rightarrow m \in \left\{ {2;3;4;...;2018} \right\}\).
Vậy có 2017 giá trị của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Chọn: A.
