\(\sqrt{1+x}+\sqrt{8-x}+\sqrt{\left(1+x\right)\left(8-x\right)}=a\) (1)
Điều kiện :
\(\begin{cases}1+x\ge0\\8-x\ge0\\\left(1+x\right)\left(8-x\right)\ge0\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\) \(\begin{cases}x\ge-1\\x\le8\\-1\le x\le8\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\) \(x\in\left[-1;8\right]\) : = (*)
Đặt \(t=\sqrt{1+x}+\sqrt{8-x}\) với điều kiện \(x\in\) (*) ta có
\(\begin{cases}t\ge0\\t^2=1+x+8-x+2\sqrt{\left(1+x\right)\left(8-x\right)}\end{cases}\)
\(\Rightarrow\) \(\begin{cases}t\ge0\\9\le t^2\le9+\left(1+x+8-x\right)=18\end{cases}\)
\(\Rightarrow\) \(t\in\left[3;3\sqrt{2}\right]\) : = (*1)
Ngoài ra, từ đó còn có \(\sqrt{\left(1+x\right)\left(8-x\right)}=\frac{t^2-9}{2}\)
Phương trình (1) trở thành
\(f\left(t\right)=\frac{1}{2}\left(t^2+2t-9\right)=a\) (2)
1) Với a=3 ta có :
(2) \(\Leftrightarrow\) \(t^2+2t-15=0\) \(\Leftrightarrow\) \(\begin{cases}t=3\\t=-5\end{cases}\)
Trong 2 nghiệm trên, chỉ có t =3 thuộc (*1) nên với a=3 ta có
(1) \(\Leftrightarrow\) \(\sqrt{\left(1+x\right)\left(8-x\right)}=\frac{3^2-9}{2}=0\) \(\Leftrightarrow\) \(\begin{cases}x=-1\\x=8\end{cases}\)
Hai nghiệm này cùng thuộc (*) như vậy khi a=3, phương trình đã cho có 2 nghiệm x=-1 và x=8
2)Nhận thấy phương trình (1) có nghiệm \(x\in\) (*) khi và chỉ khi phương trình (2)
có nghiệm t\(\in\) (*1) hay là khi và chỉ khi đường thẳng y=a (vuông góc với y'Oy) có điểm ching với phần đồ thị hàm số y=f(t) vẽ trên ( *1).
Lập bảng biến thiên của hàm số y = f(t) trên (*1) với nhận xét rằng f'(t) = t+1>0, mọi t \(x\in\) (*)
| t | \(-\infty\) 3 \(3\sqrt{2}\) \(+\infty\) |
| f'(t) | + |
| f (t) | \(\frac{9+6\sqrt{2}}{2}\) 3 |
Từ nhận xét trên và từ bảng biến thiên, ta được \(3\le a\le\frac{9+6\sqrt{2}}{2}\) là giá trị cần tìm
