Đáp án:
\( \Rightarrow m \in \left( { - \infty ; - 3 + \sqrt 2 } \right) \cup \left\{ 2 \right\}\).
Giải thích các bước giải:
\(2{x^2} + 2\left( {m + 1} \right)x + {m^2} + 4m + 3 = 0\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}\Delta ' = {\left( {m + 1} \right)^2} - 2\left( {{m^2} + 4m + 3} \right)\\\,\,\,\,\,\, = {m^2} + 2m + 1 - 2{m^2} - 8m - 6\\\,\,\,\,\,\, = - {m^2} - 6m - 5\end{array}\)
Để phương trình có nghiệm
\( \Rightarrow \Delta \ge 0 \Leftrightarrow - {m^2} - 6m - 5 \ge 0 \Leftrightarrow - 5 \le m \le - 1\).
TH1: \(m = - 5 \Rightarrow \) Phương trình trở thành \(2{x^2} - 8x + 8 = 0 \Leftrightarrow x = 2\).
\( \Rightarrow \) Thỏa mãn.
TH2: \(m = - 1 \Rightarrow \) Phương trình trở thành \(2{x^2} = 0 \Leftrightarrow x = 0\).
\( \Rightarrow \) Loại.
TH3: \( - 5 < m < - 1 \Rightarrow \) Phương trình có hai nghiệm phân biệt, giả sử là \({x_1} < {x_2}\). Khi đó áp dụng định lí Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - \left( {m + 1} \right)\\{x_1}{x_2} = \frac{{{m^2} + 4m + 3}}{2}\end{array} \right.\).
Yêu cầu bài toán \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_1} < 1 \le {x_2}\,\,\,\left( 1 \right)\\1 \le {x_1} < {x_2}\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\).
\(\begin{array}{l}\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left( {{x_1} - 1} \right)\left( {{x_2} - 1} \right) \le 0 \Leftrightarrow {x_1}{x_2} - \left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 1 \le 0\\ \Leftrightarrow \frac{{{m^2} + 4m + 3}}{2} + \left( {m + 1} \right) + 1 \le 0 \Leftrightarrow {m^2} + 4m + 3 + 2m + 2 + 2 \le 0\\ \Leftrightarrow {m^2} + 6m + 7 \le 0 \Leftrightarrow - 3 - \sqrt 2 \le m \le - 3 + \sqrt 2 \end{array}\)
\(\left( 2 \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} > 2\\\left( {{x_1} - 1} \right)\left( {{x_2} - 1} \right) \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - m - 1 > 2\\{x_1}{x_2} - \left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 1 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < - 3\\\left[ \begin{array}{l}m \ge - 3 + \sqrt 2 \\m \le - 3 - \sqrt 2 \end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow m \le - 3 - \sqrt 2 \).
\( \Rightarrow m \in \left( { - \infty ; - 3 + \sqrt 2 } \right)\).
Kết hợp 3 TH \( \Rightarrow m \in \left( { - \infty ; - 3 + \sqrt 2 } \right) \cup \left\{ 2 \right\}\).
