Đáp án:
$m = 4$
Giải thích các bước giải:
\(\begin{array}{l}
\quad x^2 - 2(m+1)x + 2m - 3 = 0\qquad (*)\\
\text{Phương trình có hai nghiệm phân biệt}\\
\Leftrightarrow \Delta_{(*)}' > 0\\
\Leftrightarrow (m+1)^2 - (2m -3) >0\\
\Leftrightarrow m^2 + 4 >0\quad \text{(luôn đúng)}\\
\text{Áp dụng định lý Viète ta được:}\\
\begin{cases}x_1 + x_2 = 2(m+1)\\x_1x_2 = 2m -3\end{cases}\\
\text{Khi đó:}\\
\quad T = \dfrac{(x_1 + x_2)^2}{(x_1 - x_2)^2}\\
\to T = \dfrac{(x_1 + x_2)^2}{(x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2}\\
\to T = \dfrac{4(m+1)^2}{4(m+1)^2 - 4(2m-3)}\\
\to T = \dfrac{m^2 + 2m + 1}{m^2 + 4}\\
\to T - \dfrac54 = \dfrac{m^2 + 2m + 1}{m^2 + 4} - \dfrac54\\
\to T - \dfrac54 = \dfrac{4m^2 + 8m + 4 - 5(m^2 + 4)}{4(m^2 + 4)}\\
\to T - \dfrac54 = \dfrac{-m^2 + 8m -16}{4(m^2 + 4)}\\
\to T - \dfrac54 = \dfrac{-(m-4)^2}{4(m^2 + 4)}\\
\to T - \dfrac54 \leqslant 0\\
\to T \leqslant \dfrac54\\
\text{Dấu = xảy ra}\ \Leftrightarrow m - 4 = 0 \Leftrightarrow m = 4\\
\text{Vậy}\ \max T = \dfrac54 \Leftrightarrow m = 4
\end{array}\)
