$Δ=[-(2m+1)]^2-4(m+1)$
$=4m^2+4m+1-4m-4$
$=4m^2-3$
$=(2m-\sqrt{3})(2m+\sqrt{3})$
Để phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_1 ; x_2$ thì $Δ > 0$
Hay $(2m-\sqrt{3})(2m+\sqrt{3}) > 0$
$⇔\left[ \begin{array}{1}\left\{ \begin{matrix}2m-\sqrt{3}>0\\2m+\sqrt{3}>0\end{matrix} \right.\\\left\{ \begin{matrix}2m-\sqrt{3}<0\\2m+\sqrt{3}<0\end{matrix} \right.\end{array} \right. ⇔ \left[ \begin{array}{1}\left\{ \begin{matrix}m>\dfrac{\sqrt{3}}{2}\\m>\dfrac{-\sqrt{3}}{2}\end{matrix} \right.\\\left\{ \begin{matrix}m<\dfrac{\sqrt{3}}{2}\\m<\dfrac{-\sqrt{3}}{2}\end{matrix} \right.\end{array} \right.$
$⇒\left[ \begin{array}{1}m>\dfrac{\sqrt{3}}{2}\\m<\dfrac{-\sqrt{3}}{2}\end{array} \right.$
Theo Vi-ét , ta có : $\left\{ \begin{matrix}x_1+x_2=2m+1\\x_1.x_2=m+1\end{matrix} \right.$
Theo đề bài : $x_1=2x_2 ⇔ x_1-2x_2=0$
Ta có hệ phương trình : $\left\{ \begin{matrix}x_1+x_2=2m+1\\x_1-2x_2=0\end{matrix} \right.$
Giải hệ phương trình trên , ta được : $\left\{ \begin{matrix}x_1=\dfrac{4m+2}{3}\\x_2=\dfrac{2m+1}{3}\end{matrix} \right.$
Mà theo Vi-ét , ta có : $x_1.x_2=m+1$
$⇒\left (\dfrac{4m+2}{3} \right ).\left (\dfrac{2m+1}{3} \right )=m+1$
$⇔\dfrac{(4m+2)(2m+1)}{9}=m+1$
$⇔2(2m+1)^2=9(m+1)$
$⇔2(4m^2+4m+1)=9m+9$
$⇔8m^2+8m+2=9m+9$
$⇔8m^2-m-7=0$
Giải phương trình , ta được : ( Áp dụng phương pháp tách )
$\left[ \begin{array}{1}m=1\\m=\dfrac{-7}{8}\end{array} \right.$ ( Thỏa mãn )
Vậy $m=1$ hoặc $m=\dfrac{-7}{8}$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_1 ; x_2$ thỏa mãn $x_1=2x_2$
