Đáp án: $b)m<-3$
`c)A_{min}=\frac{25}{2}⇔m=\frac{-1}{2}`
Giải thích các bước giải:
$a)$ Ta có:
$Δ=[-(2m+1)]^2-4.1.(m^2+m-6)$
$=4m^2+4m+1-4m^2-4m+24$
$=25>0$
$⇒$ Phương trình luôn có $2$ nghiệm phân biệt với mọi $m(đpcm)$
$b)$ Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có:
$\large \left \{ {{x_1+x_2=2m+1} \atop {x_1x_2=m^2+m-6}} \right.$
Phương trình có $2$ nghiệm âm phân biệt
$⇔\large \left \{ {{x_1+x_2<0} \atop {x_1x_2>0}} \right.⇔\large \left \{ {{2m+1<0} \atop {m^2+m-6>0}} \right.$
Có: `2m+1<0⇔m<\frac{-1}{2}`
$m^2+m-6>0⇔(m+3)(m-2)>0$
$⇔\left[ \begin{array}{l}\left \{ {{m+3>0} \atop {m-2>0}} \right.\\\left \{ {{m+3<0} \atop {m-2<0}} \right.\end{array} \right.$
$⇔\left[ \begin{array}{l}\left \{ {{m>-3} \atop {m>2}} \right.\\\left \{ {{m<-3} \atop {m<2}} \right.\end{array} \right.$
$⇔\left[ \begin{array}{l}m>2\\m<-3\end{array} \right.$
Kết hợp các điều kiện ta được: $m<-3$
$c)A=x_1^2+x_2^2$
$=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$
$=(2m+1)^2-2(m^2+m-6)$
$=4m^2+4m+1-2m^2-2m+12$
$=2m^2+2m+13$
`=2(m^2+m+\frac{1}{4})+\frac{25}{2}`
`=2(m+\frac{1}{2})^2+\frac{25}{2}≥\frac{25}{2} ∀m`
Dấu bằng xảy ra `⇔m+\frac{1}{2}=0⇔m=\frac{-1}{2}`
