Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì $\Delta >0\Rightarrow 25-4(m-3)>0\Rightarrow m<\dfrac{37}{4}$
Vì $x_1$ là nghiệm của phương trình nên $\begin{array}{l} x_1^2 - 5{x_1} + m - 3 = 0\\ \Leftrightarrow x_1^2 = 5{x_1} + 3 - m \end{array}$
$Viet \to \left\{ \begin{array}{l} {x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - b}}{a} = 5\\ {x_1}{x_2} = \dfrac{c}{a} = m - 3 \end{array} \right.$
$\begin{array}{l} GT \to x_1^2 - 2{x_1}{x_2} + 3{x_2} = 1\\ \Leftrightarrow 5{x_1} + 3 - m - 2\left( {m - 3} \right) + 3{x_2} = 1\\ \Leftrightarrow 5{x_1} + 9 - 3m + 3{x_2} = 1\\ \Leftrightarrow 5{x_1} + 3{x_2} = 3m - 8\\ \left\{ \begin{array}{l} 5{x_1} + 5{x_2} = 25\\ 5{x_1} + 3{x_2} = 3m - 8 \end{array} \right. \Leftrightarrow 2{x_2} = 33 - 3m \Leftrightarrow {x_2} = \dfrac{{33 - 3m}}{2} \Rightarrow {x_1} = \dfrac{{3m - 23}}{2}\\ \Rightarrow {x_1}{x_2} = m - 3 \Leftrightarrow \dfrac{{\left( {33 - 3m} \right)\left( {3m - 23} \right)}}{4} = m - 3\\ \Leftrightarrow - 9{m^2} + 168m - 759 = 4m - 12\\ \Leftrightarrow 9{m^2} - 164m + 747 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {m - 9} \right)\left( {9m - 83} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m = 9\\ m = \dfrac{{83}}{9} \end{array} \right. \end{array}$
Dựa vào điều kiên $\Delta$ ta có $m=\dfrac{83}{9}$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
