$x^2 - (3m+1)x + 2m^2 + m -1 = 0$
a) Ta có: $\Delta = (3m +1)^2 - 4(2m^2 + m -1)$
$= 9m^2 + 6m + 1 - 8m^2 - 4m +4$
$= m^2 + 2m + 1 + 4$
$= (m +1)^2 + 4 > 0, \, \forall m$
Hay $\Delta > 0$
Vậy phương trình luôn có nghiệm với mọi m
b) Áp dụng định lý Viète ta được:
$\begin{cases}x_1+x_2 = 3m +1\\x_1x_2 = 2m^2 + m -1\end{cases}$
Ta có:
$A = x_1^2 + x_2^2 - 3x_1x_2$
$= (x_1 + x_2)^2 - 5x_1x_2$
$= (3m +1)^2 - 5(2m^2 + m -1)$
$= 9m^2 + 6m + 1 - 10m^2 - 5m + 5$
$= - m^2 + m + 6$
$= -\left(m^2 - 2.\dfrac{1}{2}m + \dfrac{1}{4}\right) + \dfrac{25}{4}$
$= -\left(m - \dfrac{1}{2}\right)^2 + \dfrac{25}{4}$
$\Rightarrow A \leq \dfrac{25}{4}$
Dấu = xảy ra $\Leftrightarrow m - \dfrac{1}{2} = 0 \Leftrightarrow m = \dfrac{1}{2}$
Vậy $m = \dfrac{1}{2}$ thì A đạt giá trị lớn nhất
