$x^2 - (2m +1)x + m^2 +1 = 0$ (*)
($a = 1$, $b = -(2m+1)$, $c = m^2 +1$)
Phương trình (*) có nghiệm:
$\Leftrightarrow \begin{cases}a \neq 0 \\ \Delta \geq 0 \end{cases}$
$\Leftrightarrow \begin{cases}1 \neq 0 \, \, (\,luôn \, \, đúng \, ) \\ [-(2m+1)^2] -4.1.(m^2+1) \geq 0 \end{cases}$
$\Leftrightarrow 4m^2 + 4m + 1 -4m^2 - 4 \geq 0$
$\Leftrightarrow 4m -3 \geq 0 $
$\Leftrightarrow m \geq \dfrac{3}{4}$
Áp dụng hệ thức Vi-et, ta có:
$\begin{cases} x_{1} + x_{2} = 2m + 1 \, \, (1) \\ x_{1}.x_{2} = m^2 + 1 \, \, (2) \end{cases}$
mà $x_{1} = 2x_{2}$ (3)
Từ (1) và (3), ta có:
$\begin{cases} x_{1} + x_{2} = 2m + 1 \\ x_{1} - 2x_{2} = 0 \end{cases}$
$\Leftrightarrow \begin{cases} x_{1} + x_{2} = 2m + 1 \\ -x_{1} + 2x_{2} = 0 \end{cases}$
$\Leftrightarrow \begin{cases} x_{1} = 2x_{2} \\ 3x_{2} = 2m + 1 \end{cases}$
$\Leftrightarrow \begin{cases} x_{1} = 2x_{2} \\ x_{2} = \dfrac{2m + 1 }{3} \end{cases}$
$\Leftrightarrow \begin{cases} x_{1} = \dfrac{4m+2}{3} \\ x_{2} = \dfrac{2m + 1 }{3} \end{cases}$
Thay $x_{1}$, $x_{2}$ vừa tìm được vào (2), ta có:
$x_{1}.x_{2} = m^2 + 1$
$\Leftrightarrow \dfrac{4m+2}{3}.\dfrac{2m + 1 }{3} = m^2 + 1 $
$\Leftrightarrow 8m^2 + 8m +2 = 9m^2+9$
$\Leftrightarrow m^2 - 8m + 7 = 0$
$\Leftrightarrow m^2 - m - 7m + 7 = 0$
$\Leftrightarrow m(m-1) -7(m - 1 ) = 0$
$\Leftrightarrow (m-1)(m-7) = 0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x=1\\x=7\end{array} \right. $ $\big( n \big)$
Vậy để $x_{1} = 2x_{2}$ thì $m =1$ hoặc $m = 7$
