Đáp án:
\[\frac{{24}}{9} < m < 5\]
Giải thích các bước giải:
Phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi:
\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
m - 5 \ne 0\\
Δ' > 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m \ne 5\\
{\left( {m - 1} \right)^2} - \left( {m - 5} \right).m > 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m \ne 5\\
{m^2} - 2m + 1 - {m^2} + 5m > 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m \ne 5\\
3m + 1 > 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m > - \frac{1}{3}\\
m \ne 5
\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( * \right)
\end{array}\)
Khi đó, phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn: \(\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = \frac{{ - 2\left( {m - 1} \right)}}{{m - 5}}\\
{x_1}{x_2} = \frac{m}{{m - 5}}
\end{array} \right.\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}
{x_1} < 2 < {x_2}\\
\Leftrightarrow \left( {{x_1} - 2} \right)\left( {{x_2} - 2} \right) < 0\\
\Leftrightarrow {x_1}{x_2} - 2.\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 4 < 0\\
\Leftrightarrow \frac{m}{{m - 5}} - 2.\frac{{ - 2\left( {m - 1} \right)}}{{m - 5}} + 4 < 0\\
\Leftrightarrow \frac{{m + 4\left( {m - 1} \right) + 4\left( {m - 5} \right)}}{{m - 5}} < 0\\
\Leftrightarrow \frac{{9m - 24}}{{m - 5}} < 0\\
\Leftrightarrow \frac{{24}}{9} < m < 5\,\,\,\,\,\left( {t/m\left( * \right)} \right)
\end{array}\)
Vậy \(\frac{{24}}{9} < m < 5\)
