a) Nhóm liên tiếp 2 số hạng với nhau và rút nhân tử chung ra ngoài ta có
$S = (1 + 2) + 2^2(1 + 2) + \cdots + 2^{102}(1 + 2)$
$= 3 + 2^2.3 + \cdots + 2^{102}.3$
$= 3(1 + 2^2 + \cdots + 2^{102})$
Vậy $S$ chia hết cho 3.
Nhóm liên tiếp 4 số hạng với nhau ta có
$S = (1 + 2 + 2^2 + 2^3) + 2^4(1 + 2 + 2^2 + 2^3) + \cdots + 2^{100}(1 + 2 + 2^2 + 2^3)$
$= (1 + 2 + 4 + 8) + 2^4(1 + 2 + 4 + 8) + \cdots + 2^{100} (1 + 2 + 4 + 8)$
$= 15 + 2^4.15 + \cdots + 2^{100} . 15$
$= 15(1 + 2^4 + \cdots + 2^{100})$
Vậy $S$ chia hết cho 15.
Nhóm liên tiếp 8 số hạng với nhau ta có
$S = (1 + 2 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + 2^5 + 2^6 + 2^7) + 2^8(1 + 2 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + 2^5 + 2^6 + 2^7) + \cdots + 2^{96} (1 + 2 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + 2^5 + 2^6 + 2^7)$
$= (1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128) + 2^8(1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128) + \cdots + 2^{96} (1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128)$
$= 255 + 2^8.255 + \cdots + 2^{96} . 255$
$= 255(1 + 2^8 + \cdots + 2^{96})$
Vậy S chia hết cho 255.
b) Ta có
$S = 1 + 2 + 2^2 +\cdots + 2^{103}$
Nhân 2 vào 2 vế ta có
$2S = 2 + 2^2 + 2^3 + \cdots + 2^{104}$
Khi đó, trừ vế cho vế ta có
$S = 2S - S = (2 + 2^2 + 2^3 + \cdots + 2^{104}) - (1 + 2 + 2^2 +\cdots + 2^{103})$
$= 2^{104} - 1$
Vậy $S = 2^{104}-1$.
Theo Câu a) ta có $S$ chia hết cho 15, do đó S chia hết cho 5 nên $S$ có tận cùng là 0 hoặc 5.
Mặt khác, ta lại tính ra $S = 2^{104}-1$ là một số lẻ.
Do đó, $S$ có tận cùng là 5.
