Ta thấy :
$\frac{1}{5} < \frac{1}{2} $
$\frac{1}{7} < \frac{1}{6} $
$...................$
$\frac{1}{101} < \frac{1}{90} $
Vì vậy :
$\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+...+\frac{1}{101} < \frac{1}{2}+\frac{1}{6}+...+\frac{1}{90} $
Hay : $S<+ 1 -\frac{1}{10} < 1$
Mặt khác, các phân số của $S >0$ suy ra $S>0$
Nên :$0<S<1$
Vậy $S$ không là số tự nhiên.