Đáp án:
$V_{S.ABCD}=\dfrac{a^3\sqrt5}{4}$
Giải thích các bước giải:
Ta có:
$ABCD$ là hình thoi
$AC \cap BD =\left\{O\right\}$
$\Rightarrow OA = OC;\, OB=OD$
Ta lại có:
$SA = SC;\, SB = SD$
$\Rightarrow SO\perp (ABCD)$
$\Rightarrow \widehat{(SD;(ABCD))}=\widehat{SDO}=60^o$
$\Rightarrow \begin{cases}SO = SD.\sin60^o = \dfrac{a\sqrt3}{2}\\OD = SA.\cos60^o =\dfrac{a}{2}\end{cases}$
Do $AC\perp BD$
$\Rightarrow AO\perp DO$
Áp dụng định lý Pytago ta được:
$AD^2 = AO^2 + OD^2$
$\Rightarrow AO =\sqrt{AD^2 - OD^2}=\sqrt{4a^2 - \dfrac{a^2}{4}}=\dfrac{a\sqrt{15}}{2}$
$\Rightarrow S_{ADO}=\dfrac{1}{2}AO.DO = \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{a\sqrt{15}}{2}\cdot\dfrac{a}{2}=\dfrac{a^2\sqrt{15}}{8}$
$\Rightarrow S_{ABCD}=4S_{ADO}=\dfrac{a^2\sqrt{15}}{2}$
Ta được:
$V_{S.ABCD}=\dfrac{1}{3}S_{ABCD}.SO =\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{a^2\sqrt{15}}{2}\cdot\dfrac{a\sqrt3}{2}=\dfrac{a^3\sqrt5}{4}$
