Đáp án:
\(\dfrac{a}{\sqrt{7}}\)
Giải thích các bước giải:
Từ \(G\) kẻ \(GM \perp BD\)
Ta có:
$\begin{cases}BD \perp GM\\BD \perp SG\end{cases}$
\(\Rightarrow BD \perp (SGM)\) (1)
Từ \(G\) kẻ \(GN \perp SM\)
$\begin{cases}GN \perp SM\\GN \perp BD (1) \end{cases}$
\(\Rightarrow GN \perp (SBD)\)
\(\Rightarrow GN=d(G,(SBD))\)
Xét \(\Delta BCD\):
Ta có: \(BC^{2} +CD^{2}=BD^{2}\)
\(\Leftrightarrow 2a^{2}+4a^{2}=6a^{2}\) (luôn đúng)
\(\Rightarrow \Delta BCD\) vuông tại \(C\) (định lí Py-ta-go đảo)
Kẻ \(CH \perp BD\)
\(\dfrac{1}{BC^{2}}+\dfrac{1}{CD^{2}}=\dfrac{1}{CH^{2}}\)
\(\Leftrightarrow \dfrac{1}{2a^{2}}+\dfrac{1}{4a^{2}}=\dfrac{1}{CH^{2}}\)
\(\Rightarrow CH=\dfrac{2}{\sqrt{3}}a\)
\(MG//CH\) (cùng vuông góc \(BD\))
\(\Rightarrow \dfrac{OG}{OC}=\dfrac{MG}{CH}=\dfrac{1}{3}\) (theo định lí Ta-let)
\(\Rightarrow MG=\dfrac{CH}{3}=\dfrac{2\sqrt{3}}{9}a\)
Xét \(\Delta SGM\) vuông tại \(G\):
\(\dfrac{1}{GM^{2}}+\dfrac{1}{SG^{2}}=\dfrac{1}{GN^{2}}\)
\(\Rightarrow \dfrac{1}{(\dfrac{2\sqrt{3}}{9}a)^{2}}+\dfrac{1}{4a^{2}}=\dfrac{1}{GN^{2}}\)
\(\Rightarrow GN=\dfrac{1}{\sqrt{7}}a\)
