Gọi $E$ là trung điểm $BC$
$\Rightarrow ABEH; \, HECD$ là hình vuông
Ta có:
$SH\perp (ABCD)$
$\Rightarrow HB$ là hình chiếu của $SB$ lên $(ABCD)$
$\Rightarrow \widehat{HBS} = \widehat{(SB;(ABCD))} = 45^o$
$\Rightarrow SH = BH = a\sqrt{2}$
Gọi $O$ là giao điểm hai đường chéo của hình vuông $HECD$
Ta có:
$HE = HD = a$
$SH:$ cạnh chung
$\Rightarrow SE = SD$
$\Rightarrow SO\perp ED$
mà $HO\perp ED$ (hai đường chéo hình vuông)
$\Rightarrow ED\perp (SHO)$
Kẻ $HK\perp SO$
$\Rightarrow ED\perp HK$
$\Rightarrow HK\perp (SED)$
$\Rightarrow HK = d(H;(SED))$
Ta có: $HB//DE$
$\Rightarrow HB//(SED)$
$\Rightarrow d(HB;SD) = d(HB;(SED)) = d(H;(SED)) = HK$
Áp dụng hệ thức lượng, ta được:
$\dfrac{1}{HK^2} = \dfrac{1}{SH^2} + \dfrac{1}{HO^2}$
$\Rightarrow HK = \sqrt{\dfrac{SH^2.HO^2}{SH^2 + HO^2}} = \sqrt{\dfrac{(a\sqrt{2})^2.(\dfrac{a\sqrt{2}}{2})^2}{(a\sqrt{2})^2 +(\dfrac{a\sqrt{2}}{2})^2}} = \dfrac{a\sqrt{10}}{5}$
