$S=\frac{1}{2^3}+\frac{1}{3^3}+\frac{1}{4^3}+...+\frac{1}{2014^3}$
Ta có
$S=\frac{1}{2^3}<\frac{1}{1.2.3}\\
\frac{1}{3^3}<\frac{1}{2.3.4}\\
\frac{1}{4^3}<\frac{1}{3.4.5}\\
...\\
\frac{1}{2014^3}<\frac{1}{2013.2014.2015}$
$+\frac{1}{4^3}+...+\frac{1}{2014^3}<\frac{1}{1.2.3}+\frac{1}{2.3.4}+\frac{1}{3.4.5}+....+\frac{1}{2013.2014.2015}$
$\Rightarrow 2S=\frac{2}{2^3}+\frac{2}{3^3}+\frac{2}{4^3}+...+\frac{2}{2014^3}<\frac{2}{1.2.3}+\frac{2}{2.3.4}+\frac{2}{3.4.5}+....+\frac{2}{2013.2014.2015}$
$\Rightarrow 2S<\frac{1}{1.2}-\frac{1}{2.3}+\frac{1}{2.3}-\frac{1}{3.4}+\frac{1}{3.4}-\frac{1}{4.5}+....+\frac{1}{2013.2014}-\frac{1}{2014.2015}$
$\Rightarrow 2S<\frac{1}{1.2}-\frac{1}{2014.2015}$
$\Rightarrow S<\frac{\frac{1}{1.2}-\frac{1}{2014.2015}}{2}$
$\Rightarrow S<\frac{1}{4}-\frac{1}{4018.4030}$
Do$\frac{1}{4}-\frac{1}{4018.4030}<\frac{2}{3}$
Nên $S<\frac{2}{3}$ (đpcm)
