Số 4 $\geq$ B.10$^{a}$ + b Vì :10$^{a}$ = 9a + 1 Mà 444......4<2a và số 4 $\geq$ b < +b ⇔ 9b2+b+b = 9b2 + 2b <9b + 1 (1) Ta lại có: 444........4<a và số 4 $\geq$ b.4 (cmt) ⇒ A+B+1= 9b2 +2b+4b+1 $\leq$ 3b²> +2.3b.1 +12 $\leq$ 3b +1²>² (2) Từ 1 và 2 ⇒A+B+1 là một số chính phương
Đặt 4444....4<n chữ số 4> là k Ta có: 4444.....4<2n chữ số 4>=k.10n + k Vì :10n = 9k + 1 444......4<2n chữ số 4>= k.<9k + 1> +k = 9k2+k+k = 9k2 + 2k Ta có 444........4<n chữ số 4>=4k Vậy a+b+1= 9k2 +2k+4k+1 = <3k>2 +2.3k.1 +12 = <3k +1>2 vậy là một số chính phương
