Đáp án đúng: D Giải chi tiết: Ta có: \(\left| {\sqrt 3 z + i} \right| = 2 \Leftrightarrow \left| {z + \frac{1}{{\sqrt 3 }}i} \right| = \frac{2}{{\sqrt 3 }}\). \( \Rightarrow \) Tập hợp các điểm \(M\) biểu diễn số phức \(z\) là đường tròn \(\left( C \right)\) tâm \(I\left( {0;\frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right)\), bán kính \(R = \frac{2}{{\sqrt 3 }}\). Gọi \(A\left( {1;0} \right);\,\,B\left( { - 1;0} \right);\,\,C\left( {0; - \sqrt 3 } \right)\) ta thấy \(A,\,\,B,\,\,C \in \left( C \right)\) và \(\Delta ABC\) đều cạnh \(2\). Khi đó ta có \(S = MA + MB + MC\). Lấy \(D \in MC\) sao cho \(MD = MA\). Ta có: \(\angle AMD = \angle AMC = \angle ABC = {60^0}\) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung \(AC\)) \( \Rightarrow \Delta AMD\) đều \( \Rightarrow MA = MD = AD\). Xét \(\Delta AMB\) và \(\Delta ADC\) có: \(AM = AD\,\,\left( {cmt} \right);\,\,AB = AC\,\,\left( {cmt} \right)\). Có \(\angle ADM = {60^0} \Rightarrow \angle ADC = {120^0} = \angle AMB\). Lại có \(\angle ABM = \angle ACD = \angle ACM\) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung \(AM\)) \( \Rightarrow \angle MAB = \angle DAC\). \( \Rightarrow \Delta AMB = \Delta ADC\,\,\left( {c.g.c} \right) \Rightarrow MB = DC\). Do đó \(S = MA + MB + MC = MD + DC + MC = 2MC\). \( \Rightarrow S\) đạt giá trị lớn nhất khi \(MC\) đạt giá trị lớn nhất \( \Rightarrow MC\) là đường kính của \(\left( C \right)\) và \(MC = 2R = \frac{4}{{\sqrt 3 }}\). Vậy \({S_{\max }} = 2M{C_{\max }} = \frac{8}{{\sqrt 3 }}\). Chọn D
