Để tứ giác BHCF là hình thoi thì $BC$ là phân giác của $\widehat{HCF}$.
Do đó $\widehat{HCB} = \widehat{BCF}$
Lại có $\widehat{BCF} = \widehat{CBH}$ (so le trong)
Vậy $\widehat{HCB} = \widehat{HBC}$, do đó tam giác HBC cân.
Hạ $AH$ giao $BC$ tại M. Khi đó $AM \perp BC$ do H là giao của 2 đường cao nên là trực tâm.
Xét tam giác vuông HMB và HMC có
$\begin{cases} HB = HC\\ \widehat{HBM} = \widehat{HCM} \end{cases}$
Vậy tam giác HMB = tam giác HMC (ch-gn). Vậy $MB = MC$. Do đó M là trung điểm BC.
Vậy AM là đường trung tuyến đồng thời là đường cao của tam giác ABC.
Do đó tam giác ABC cân tại A.
Vậy để BHCF là hình thoi thì tam giác ABC cân tại A.