Đáp án:
Giải thích các bước giải:
a)
Ta có ΔAEH ~ ΔAHB (2 tam giác vuông có góc nhọn ở A chung)
b)
Từ a) —► AH/AE = AB/AH
—► AH² = AE.AB (1)
Tương tự: ΔAFH ~ ΔAHC (2 tam giác vuông có góc nhọn ở A chung)
—► AH/AF = AC/AH
—► AH² = AF.AC (2)
Từ (1) và (2)—► AE.AB=AF.AC (đpcm)
c)
Gọi O, G và K là trung điểm của AH, AE và AF. Nối điểm O với E, G, K và F.
Ta có OK là đường trung bình của ΔAHF nên OK//HF mà HF⊥AC nên OK⊥AC —►Δvuông OKA=Δvuông OKF (c.g.c)—► OA=OF (3)
và ∠AOK=∠KOF (4)
Tương tự vậy Δvuông OGA=Δvuông OGE (c.g.c)—► OA=OE (5)
và ∠OAE=∠AEO (6)
Mà O là trung điểm của AH nên từ (3) và (5) ta có: OA=OF=OH=OE
Từ OE=OF —► ΔOEF cân tại O
—► ∠OEF=∠EFO (7)
Xét tổng các góc của ΔAEF ta có:
∠OAE+∠AEO+∠OEF+∠EFO
+∠OFA+∠FAO = 180°
Thay (6) và (7) vào rồi chuyển vế ta có:
∠ AEO+∠AEO+∠OEF+∠OEF
= 180°-(∠OFA+∠FAO)
—► 2(∠AEO+∠OEF)=180°-(∠OFA+∠FAO)
—► 2*∠AEF =180°-(∠OFA+∠FAO) (8)
Xét tổng các góc của ΔOAF ta có:
∠AOF+∠OFA+∠FAO = 180°
—► ∠AOF =180°-(∠OFA+∠FAO) (9)
Từ (8) và (9)—►∠AOF=2*∠AEF (10)
Ta cũng có: do ΔOHF cân tại O
—► ∠AHF=∠HFO
Vì OK//HF nên ∠KOF=∠HFO (sole)
Và ∠AHF=∠AOK (đồng vị)
—►∠AOF=∠AOK+∠KOF=∠AHF+∠AHF
—►∠AOF=2*∠AHF (11)
Từ (10) và (11)—►∠AEF=∠AHF
Mà ∠AHF=∠ACF (cùng phụ với ∠HAC)
—►∠AEF=∠ACH (12)
Vì có góc A chung và ∠AEF=∠ACH
—► ΔAEF ~ ΔACB (g.g) (đpcm)
d)
Ta có: ∠AEF = ∠BEM (đối đỉnh) (13)
Từ (12) và (13)—► ∠ACH=∠BEM
Vì có góc M chung và ∠ACH=∠BEM
—► ΔMBE ~ ΔMFC (g.g)
—► ME/MB = MC/MF
—► ME.MF=MB.MC (đpcm)
