a, AH là phân giác của $\widehat{BAC}$
⇒ $\widehat{EAH}$ = $\widehat{FAH}$
Xét 2 tam giác vuông ΔEAH và ΔFAH có:
AH chung; $\widehat{EAH}$ = $\widehat{FAH}$
⇒ ΔEAH = ΔFAH (cạnh góc vuông - góc nhọn)
⇒ EH = FH (đpcm)
b, $\widehat{ACB}$ là góc ngoài tại C của ΔMCF
⇒ $\widehat{ACB}$ = $\widehat{CFM}$ + $\widehat{CMF}$
$\widehat{AEF}$ là góc ngoài tại E của ΔMBE
⇒ $\widehat{AEF}$ = $\widehat{EMB}$ + $\widehat{ABC}$
Lại có: $\widehat{CFM}$ = $\widehat{AEF}$ (do ΔEAH = ΔFAH)
⇒ $\widehat{ACB}$ = $\widehat{EMB}$ + $\widehat{ABC}$ + $\widehat{CMF}$
Mặt khác: $\widehat{EMB}$ = $\widehat{CMF}$ (đối đỉnh)
⇒ $\widehat{ACB}$ = 2.$\widehat{EMB}$ + $\widehat{ABC}$
hay 2.$\widehat{BME}$ = $\widehat{ACB}$ - $\widehat{ABC}$ (đpcm)
c, ΔAHE vuông tại H
⇒ $HE^2 + AH^2 = AE^2$
ΔEAH = ΔFAH ⇒ HE = HF ⇒ H là trung điểm của FE
⇒ HE = $\frac{FE}{2}$
⇒ $HE^2 = (\frac{FE}{2})^2 = \frac{FE^2}{4}$
⇒ $\frac{FE^2}{4} + AH^2 = AE^2$ (đpcm)
d, Qua C kẻ đường thẳng song song với AB cắt EF ở D.
CD // AB ⇒ $\widehat{CDF}$ = $\widehat{AEH}$ (đồng vị)
mà $\widehat{AFH}$ = $\widehat{AEH}$ (ΔEAH = ΔFAH)
⇒ $\widehat{CDF}$ = $\widehat{AFH}$
⇒ ΔCDF cân tại C
⇒ CD = CF
Dễ dàng chứng minh được ΔMBE = ΔMCD (g.c.g)
⇒ BE = CD mà CD = CF
⇒ BE = CF (đpcm)
