a. Vì $P\in$trung trực của BC
$\to PB=PC$
Xét 2 tam giác vuông $\Delta APH$ và $\Delta APK$ có:
$AP$ chung
$\widehat{HAP}=\widehat{KAP}$ (do AP là phân giác $\widehat{BAC}$)
$\Rightarrow\Delta APH=\Delta APK$ (cạnh huyền-góc nhọn)
$\to PH=PK$ (hai cạnh tương ứng)
Xét 2 tam giác vuông $\Delta PHB$ và $\Delta PKC$ có:
$PH=PK$ (chứng minh trên)
$PB=PC$ (chứng minh trên)
$\to\Delta PBH=\Delta PCK$ (cạnh huyền-cạnh góc vuông)
$\to BH=CK$
b. Ta có $AH=AK$ (hai cạnh tương ứng do $\Delta APH=\Delta APK$ cmt)
$\to \Delta AHK$ cân tại A
Mà $AP$ là phân giác $\widehat{A}$, nên $AP$ cũng là đường cao
$\to AP\perp HK$
Qua B kẻ $BE//AK, E\in HK$
$\to \widehat{BEH}=\widehat{AKH}$ (hai góc ở vị trí đồng vị)
Do $\Delta AHK$ cân tại A $\to \widehat{AKH}=\widehat{AHK}$
$\to \widehat{BEH}=\widehat{BHE}\to\Delta BEH$ cân đỉnh B$\to BH=BE$
Mà $BH=CK\to BE=CK$
Lại có $BE//CK\to \widehat{EBM}=\widehat{MCK}$ (so le trong)
Do M là trung điểm BC $\to MB=MC$
Từ 3 điều trên $\to \Delta EBM=\Delta KCM(c.g.c)$
$\to \widehat{BME}=\widehat{KMC}$
$\to \widehat{EMK}=\widehat{BME}+\widehat{BMK}=\widehat{CMK}+\widehat{BMK}=\widehat{BMC}=180^o$
$\to E,M,K$ thẳng hàng, mà $E, H, K$ thẳng hàng
$\to H,M,K$ thẳng hàng
c. $PA\perp HK$ (chứng minh trên)
$\to AP\perp HK=O$
Kết hợp $AH=AK\to O$ là trung điểm HK
$\to OH=OK$
$\begin{split}\to OA^2+OP^2+OH^2+OK^2&=OA^2+OP^2+OH^2+OH^2\\&=(OA^2+OH^2)+(OP^2+OH^2)\\&=AH^2+PH^2\\&=AP^2 , (PH\perp AB)\end{split}$
