a)
$\begin{cases}\widehat{ABM}=\dfrac{1}{2}\widehat{ABC}\\\widehat{ACN}=\dfrac{1}{2}\widehat{ACB}\\\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\end{cases}\to\,\,\,\,\,\widehat{ABM}=\widehat{ACN}$
Xét $\Delta ABM$ và $\Delta ACN$ có:
$\begin{cases}\widehat{BAC}\text{ là góc chung }\\AB=AC\\\widehat{ABM}=\widehat{ACN}\end{cases}$
$\to \Delta ABM=\Delta ACN$
$\to AM=AN$
$\to \Delta AMN$ cân tại $A$
$\to \widehat{ANM}=\dfrac{180{}^\circ -\widehat{BAC}}{2}$
Mặt khác $\widehat{ABC}=\dfrac{180{}^\circ -\widehat{BAC}}{2}$ ( vì $\Delta ABC$ cân tại $A$ )
Nên $\widehat{ANM}=\widehat{ABC}$
Mà 2 góc này nằm ở vị trí đồng vị
$\to MN\,\,||\,\,BC$
b)
Xét $\Delta ABC$ có $BM$ là phân giác $\widehat{ABC}$:
$\to \dfrac{MA}{MC}=\dfrac{BA}{BC}$
$\to \dfrac{MA}{BA}=\dfrac{MC}{BC}$
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
$\dfrac{MA}{BA}=\dfrac{MC}{BC}=\dfrac{MA+MC}{BA+BC}=\dfrac{AC}{BA+BC}=\dfrac{5}{5+6}=\dfrac{5}{11}$
$\to MA=BA.\dfrac{5}{11}=5.\dfrac{5}{11}=\dfrac{25}{11}\,\,\,\left( cm \right)$
$\to MC=BC.\dfrac{5}{11}=6.\dfrac{5}{11}=\dfrac{30}{11}\,\,\,\left( cm \right)$
$\Delta ABC$ có $MN\,\,||\,\,BC$:
$\to \dfrac{AM}{AC}=\dfrac{MN}{BC}$ ( hệ quả của định lý Ta-let )
$\to MN=\dfrac{AM.BC}{AC}=\dfrac{\dfrac{25}{11}.6}{5}=\dfrac{30}{11}\,\,\,\left( cm \right)$
c)
Kẻ đường cao $AH$ của $\Delta ABC$ cân tại $A$
$\to AH$ cũng là trung tuyến
$\to H$ là trung điểm $BC$
$\to HB=\dfrac{1}{2}BC=\dfrac{1}{2}.6=3\,\,\,\left( cm \right)$
Xét $\Delta ABH$ vuông tại $H$:
$\to A{{B}^{2}}=H{{B}^{2}}+A{{H}^{2}}$ ( định lý Pi-ta-go )
$\to AH=\sqrt{A{{B}^{2}}-H{{B}^{2}}}$
$\to AH=\sqrt{{{5}^{2}}-{{3}^{2}}}$
$\to AH=4\,\,\,\left( cm \right)$
${{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{1}{2}.AH.BC=\dfrac{1}{2}.4.6=12\,\,\,\left( c{{m}^{2}} \right)$
Xét $\Delta ANM$ và $\Delta ABC$ có:
$\widehat{BAC}$ là góc chung
$\widehat{ANM}=\widehat{ABC}$ ( $NM\,\,||\,\,BC$, hai góc đồng vị )
$\to \Delta ANM\sim \Delta ABC$
$\to \dfrac{{{S}_{\Delta ANM}}}{{{S}_{\Delta ABC}}}={{\left( \dfrac{AM}{AC} \right)}^{2}}$
$\to {{S}_{\Delta ANM}}={{S}_{\Delta ABC}}.{{\left( \dfrac{AM}{AC} \right)}^{2}}=12.{{\left( \dfrac{\dfrac{25}{11}}{5} \right)}^{2}}=\dfrac{300}{121}\,\,\,\left( c{{m}^{2}} \right)$
