$S=\dfrac{1}{2}AB.AC\sin A$
$\Rightarrow 3\sqrt3=\dfrac{1}{2}.3.4\sin A$
$\Leftrightarrow \sin A=\dfrac{\sqrt3}{2}$
$\Rightarrow \widehat{A}=60^o$
$\Rightarrow \cos A=\dfrac{1}{2}$
$\Rightarrow BC=\sqrt{AB^2+AC^2-2AB.AC\cos A}=\sqrt{13}$
$\dfrac{BC}{\sin A}=\dfrac{AB}{\sin C}$
$\Rightarrow \sin C=\dfrac{3\sqrt{29}}{26}$
$\to\widehat{C}\approx 46^o$