a) Ta có: $\widehat {C_1}=\widehat{C_2}$ (đối đỉnh)
$\widehat B=\widehat{C_1}$ (do $\Delta ABC$ cân đỉnh $A$)
$\Rightarrow \widehat{B}=\widehat {C_2}$ (=$\widehat{C_1}$)
Xét $\Delta$ vuông $ DBM$ và $\Delta$ vuông $ ECN$ có:
$BD=CE$ (giả thiết)
$\widehat{B}=\widehat {C_2}$ (cmt)
$\Rightarrow \Delta$ vuông $ DBM=\Delta$ vuông $ ECN$ (cgv-gn)
$\Rightarrow DM=EN$ (đpcm)
b) Xét $\Delta $ vuông $IDM$ và $\Delta $ vuông $IEN$ có:
$\widehat{DIM}=\widehat{EIN}$ (đối đỉnh)
$DM=EN$ (chứng minh ở câu a)
$\Rightarrow \Delta $ vuông $IDM=\Delta $ vuông $IEN$ (cgv-gn)
$\Rightarrow IM=IN$ và $I\in MN$ (do $BC$ cắt $MN$ tại $I$)
$\Rightarrow I$ là trung điểm của $MN$ (đpcm)
c) Dựng đường thẳng đi qua B và vuông góc với AB, dựng đường thẳng qua C và vuông góc với AC, hai đường thẳng này cắt nhau tại F
Xét $\Delta$ vuông $ ABF$ và $\Delta$ vuông $ACF$ có:
$AB=AC$ (do $\Delta ABC$ cân đỉnh $A$)
$AF$ chung
$\Rightarrow \Delta$ vuông $ ABF=\Delta$ vuông $ACF$ (ch-cgv)
$\Rightarrow FB=FC$ và có $AB=AC$
$\Rightarrow AF$ là đường trung trực của $BC$, nên $F$ thuộc đường trung trực của $BC$ do $B,C$ cố định nên đường trung trực của $BC$ cố định nên $F $ cố định
Xét $\Delta$ vuông $ BFM$ và $\Delta$ vuông $ CFN$ có:
$BM=CN$ (do $\Delta DBM=\Delta ECN $)
$BF=CF$ (cmt)
$\Rightarrow \Delta$ vuông $ BFM=\Delta$ vuông $ CFN$ (2 cạnh góc vuông)
$\Rightarrow FM=FN\Rightarrow F$ thuộc đường trung trực của MN
Vậy đường trung trực của MN đi qua điểm F cố định (đpcm)
