a. Xét $\Delta ABC$ cân tại $A$ có:

     $AB=AC$ (tính chất tam giác cân)

     $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$ (tính chất tam giác cân)

     hay $\widehat{ABD}=\widehat{ACD}$

     $AD$ là đường trung tuyến (gt)

     $⇒DB=DC$

Xét $\Delta ADB$ và $\Delta ADC$ có:

     $AB=AC$ (chứng minh trên)

     $\widehat{ABD}=\widehat{ACD}$

     $DB=DC$ (chứng minh trên)

$⇒\Delta ADB=\Delta ADC\,\,(c.g.c)$

b. Xét $\Delta ABC$ cân tại $A$ có:

     $AD$ là đường trung tuyến

   $⇒AD$ đồng thời là đường trung trực ứng với $BC$

   $⇒AD$ cũng là đường trung trực trong $\Delta BHC$

          $⇒HD⊥BC$

      $⇒\widehat{BDH}=\widehat{CDH}=90^{\circ}$

Xét $\Delta BHD$ và $\Delta CHD$ có:

     $HD$ là cạnh chung

     $\widehat{BDH}=\widehat{CDH}=90^{\circ}$ (chứng minh trên)

     $DB=DC$ (chứng minh ở câu a)

$⇒\Delta BHD=\Delta CHD(c.g.c)$

$⇒HB=HC$ (cặp cạnh tương ứng) (1)

Tương tự chứng minh: $\Delta BHE=\Delta FHE(c.g.c)$

     $⇒HC=HF$ (cặp cạnh tương ứng)

Từ (1) và (2) $⇒HB=HC=HF$

c. Xét $\Delta BFC$ có:

     $HB=HC=HF$ (chứng minh ở câu b)

   $⇒BH$ là đường trung tuyến ứng với $FC$

Mà $HC+HF=FC$

     $⇒HB=\dfrac{1}{2}FC$

$⇒\Delta BFC$ vuông tại $B$ (tính chất đường trung tuyến)

$⇒BC⊥BF$

   $AC//KF$

Gợi ý:

Chứng minh $\Delta AHB=\Delta AHC(c.g.c)$

               $\widehat{ABH}=\widehat{ACH}=90^{\circ}$

               $⇒AC⊥HC$ hay $AC⊥FC$ (3)

$\widehat{KBH}=\widehat{ABH}=90^{\circ}$

Tương tự chứng minh: $\Delta KBH=\Delta KFH(c.g.c)$

               $⇒\widehat{KBH}=\widehat{KFH}=90^{\circ}$

               $⇒KF⊥FH$ hay $KF⊥FC$ (4)

Từ (3) và (4) $⇒AC//KF$ (cùng vuông góc với $FC$)