Đáp án:

`a,`

Xét `ΔAHB` và `ΔAHC` có :

`hat{AHB} = hat{AHC} = 90^o`

`AH` chung

`AB =AC` (Do `ΔABC` cân tại `A`)

`-> ΔAHB = ΔAHC` (cạnh huyền - cạnh góc vuông)

Do `ΔAHB = ΔAHC` (chứng minh trên)

`-> BH = CH` (2 cạnh tương ứng)

hay `H` là trung điểm của `BC`

$\\$

$\\$

$b,$

Do $AD//BC$

`-> hat{DAM} = hat{HBM}` (2 góc so le trong)

Xét `ΔDMA` và`ΔHMB` có :

`hat{DMA} = hat{HMB}` (2 góc đối đỉnh)

`hat{DAM} = hat{HBM}` (chứng minh trên)

`BM = AM` (Do `M` là trung điểm của `AB`)

`-> ΔDMA = ΔHMB` (góc - cạnh - góc)

`-> AD = BH` (2 cạnh tương ứng)

mà `AD = 2,5cm`

`-> BH = 2,5cm`

Xét `ΔAHB` vuông tại `H` có :

`AH^2 + BH^2 = AB^2` (Pitago)

`-> AH^2 = AB^2 - BH^2`

`-> AH^2 = (6,5)^2 - (2,5)^2`

`-> AH^2 = 6^2`

`-> AH = 6cm`

$\\$

$\\$

$c,$

Gọi `K` là giao của `CD` và `AH (K ∈ AH)`

Có : `AD=  BH` (chứng minh trên)

mà `BH = CH` (chứng minh trên)

`-> AD = CH (= BH)`

Do $AD//BC$

`-> hat{ADK} = hat{HCK}` (2 góc so le trong)

Có : \(\left\{ \begin{array}{l}AH⊥BC\\AD//BC\end{array} \right.\)

$→ AH⊥AD$

Xét `ΔAKD` và `ΔHKC` có :

`hat{KAD} = hat{KHC} = 90^o`

`AD = CH` (chứng minh trên)

`hat{ADK} = hat{HCK}` (chứng minh trên)

`-> ΔAKD = ΔHKC` (góc - cạnh - góc)

`-> AK = HK` (2 cạnh tương ứng)

`-> K` là trung điểm của `AH`

`-> DK` là đường trung tuyến của `ΔADH`

Do `ΔDMA = ΔHMB` (chứng minh trên)

`-> DM = HM` (2 cạnh tương ứng)

`-> M` là trung điểm của `DH`

`-> AM` là đường trung tuyến của `ΔADH`

Xét `ΔADH` có :

`AM` là đường trung tuyến

`DK` là đường trung tuyến

`AM` cắt `DK` tại `V`

`-> V` là trọng tâm của `ΔADH`

`-> AV = 2/3 AM`

mà `AM = 1/2 AB` (Do `M` là trung điểm của `AB`)

`-> AV =2/3 . 1/2 AB`

`-> AV = 1/3 AB`

`-> AB = 3AV`

Có : `BC < AB` (giả thiết)

mà `AB = 3AV` (chứng minh trên)

`-> BC < 3AV`