a) Chứng minh AD=AE
Xét $\Delta ABD$ vuông tại $D$ và $\Delta ACE$ vuông tại $E$, ta có:
$\widehat{BAC}$ là góc chung
$AB=AC$ ( Vì $\Delta ABC$ cân tại $A$ )
$\to \Delta ABD=\Delta ACE$ ( cạnh huyền – góc nhọn )
$\to AD=AE$
b) Chứng minh AI là tia phân giác góc BAC
Xét $\Delta AIE$ vuông tại $E$ và $\Delta AID$ vuông tại $D$, ta có:
$AI$ là cạnh chung
$AE=AD$ ( cmt )
$\to \Delta AIE=\Delta AID$ ( cạnh huyền – cạnh góc vuông )
$\to \widehat{EAI}=\widehat{DAI}$ ( hai góc tương ứng )
$\to AI$ là tia phân giác $\widehat{BAC}$
c) Chứng minh DE song song BC
Vì $AD=AE$ ( cmt )
$\to \Delta ADE$ cân tại $A$
$\to \widehat{AED}=\dfrac{180{}^\circ -\widehat{BAC}}{2}$
Mặt khác, $\Delta ABC$ cân tại $A$
$\to \widehat{ABC}=\dfrac{180{}^\circ -\widehat{BAC}}{2}$
$\to \widehat{AED}=\widehat{ABC}$
Mà 2 góc này nằm ở vị trí đồng vị
$\to ED\,\,||\,\,BC$
d) Chứng minh 3 điểm A,I,M thẳng hàng
Xét $\Delta AMB$ và $\Delta AMC$, ta có:
$AB=AC$ ( Vì $\Delta ABC$ cân tại $A$ )
$AM$ là cạnh chung
$MB=MC$ ( Vì $M$ là trung điểm $BC$ )
$\to \Delta AMB=\Delta AMC$ ( c.c.c )
$\to \widehat{BAM}=\widehat{CAM}$
$\to AM$ là tia phân giác $\widehat{BAC}$
Mà $AI$ cũng là tia phân giác $\widehat{BAC}$
$\to AM\equiv AI$
Hay nói cách khác, $3$ điểm $A,I,M$ thẳng hàng
