`a)` $∆ABC$ cân tại $A$ (gt)
`=>AB=AC`
Xét $∆ABN$ và $∆ACM$ có:
`\qquad AB=AC`
`\qquad\hat{A}` chung
`\qquad AN=AM` (gt)
`=>∆ABN=∆ACM` (c-g-c)
`=>BN=CM` (hai cạnh tương ứng) (đpcm)
$\\$
`b)` $∆ABN=∆ACM$ (câu a)
`=>\hat{ABN}=\hat{ACM}` (hai góc tương ứng)
`\qquad \hat{ANB}=\hat{AMC}` (hai góc tương ứng)
Ta có:
`\hat{ANB}+\hat{CNI}=180°` (hai góc kề bù)
`\hat{AMC}+\hat{BMI}=180°` (hai góc kề bù)
`=>\hat{BMI}=\hat{CNI}`
$\\$
$AB=AM+BM$
$AC=AN+CN$
Mà $AB=AC;AM=AN(gt)$
`=>BM=CN`
$\\$
Xét $∆MBI$ và $∆NCI$ có:
`\qquad \hat{MBI}=\hat{NCI}` (do `\hat{ABN}=\hat{ACM}` đã c/m)
$\quad BM=CN$ (c/m trên)
`\qquad \hat{BMI}=\hat{CNI}` (c/m trên)
`=>∆MBI=∆NCI` (g-c-g)
`=>MI=NI` (hai cạnh tương ứng)
$\\$
Xét $∆AMI$ và $∆ANI$ có:
`\qquad AI` là cạnh chung
`\qquad AM=AN` (gt)
`\qquad MI=NI` (c/m trên)
`=>∆AMI=∆ANI` (c-c-c)
`=>\hat{MAI}=\hat{NAI}`
Mà tia $AI$ nằm giữa hai tia $AM$ và $AN$ nên $AI$ là tia phân giác của `\hat{MAN}`
`=>AI` là tia phân giác `\hat{BAC}` $(1)$
$\\$
$∆ABC$ cân tại $A$ có $AO$ là đường trung tuyến (do $O$ là trung điểm $BC$)
`=>AO` là đường phân giác của `\hat{BAC}` $(2)$
Từ `(1);(2)=>A;I;O` thẳng hàng (đpcm)
