Cho tam giác \(ABC\) cân tại \(A\) có \(I\) là giao điểm các đường phân giác. Biết rằng \(IA = 2\sqrt 5 ,\,\,IB = 3.\) Tính \(AB.\) A.\(6\) B.\(3\sqrt {3} \). C.\(2\sqrt {11} \). D.\(3\sqrt {2} \).
Đáp án đúng: C Giải chi tiết: Qua \(A\) kẻ đường thẳng vuông góc với \(AB\) cắt đường thẳng \(BI\) tại \(K.\) Do tam giác \(ABC\) cân tại \(A\) nên đường phân giác \(AI\) cũng là đường cao kẻ từ \(A.\) Ta có: \(\widehat K + \widehat {{B_1}} = {90^0},\) \(\widehat {{I_2}} + \widehat {{B_2}} = {90^0},\) \(\widehat {{B_1}} = \widehat {{B_2}}\) (\(BI\) là phân giác của \(\widehat B\)) và \(\widehat {{I_1}} = \widehat {{I_2}}\) (hai góc đối đỉnh). Suy ra \(\widehat K = \widehat {{I_1}} \Rightarrow \Delta AIK\) cân tại \(A \Rightarrow AK = AI = 2\sqrt 5 \). Kẻ \(AH \bot BK\) tại \(H,\) khi đó \(H\) là trung điểm \(IK.\) Đặt \(x = IH = IK.\) Xét tam giác \(ABK\) vuông tại \(A,\) có đường cao \(AH,\) ta có: \(\begin{array}{l}A{K^2} = HK.BK\\ \Rightarrow {\left( {2\sqrt 5 } \right)^2} = x.\left( {3 + 2x} \right)\\ \Leftrightarrow 2{x^2} + 3x - 20 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {2x - 5} \right)\left( {x + 4} \right) = 0\\ \Leftrightarrow x = 2,5\end{array}\) (do \(x\) là độ dài đoạn thẳng nên \(x > 0\)). Suy ra \(BK = 2x + 3 = 8.\) Áp dụng định lý Pytago trong tam giác \(ABK\) vuông tại \(A:\) \(\begin{array}{l}B{K^2} = A{B^2} + A{K^2} \Rightarrow {8^2} = A{B^2} + {\left( {2\sqrt 5 } \right)^2}\\ \Rightarrow A{B^2} = 44 \Rightarrow AB = 2\sqrt {11} .\end{array}\) Vậy \(AB = 2\sqrt {11} \). Chọn C.