a) Xét tam giác vuông AEC và tam giác vuông ADB có

$AC = AB$ (tam giác ABC cân tại A), $\widehat{A}$ chung.

Vậy tam giác vuông AEC = tam giác vuông ADB (ch.gn)

SUy ra $\widehat{ACE} = \widehat{ABD}$.

b) Do tam giác ABC cân tại A nên $\widehat{ABC} = \widehat{ACB}$

Lại có $\widehat{ACE} = \widehat{ABD}$. Suy ra

$\widehat{ABC} - \widehat{ABD} = \widehat{ACB} - \widehat{ACE}$

$<-> \widehat{HBC} = \widehat{HCB}$

Vậy tam giác HBC cân tại H. Suy ra BH = CH.

c) Do BP là phân giác của $\widehat{ABD}$ nên

$\widehat{ABP} = \widehat{PBD} = \dfrac{1}{2} \widehat{ABD}$

CMTT ta cx có

$\widehat{ACN} = \widehat{NCE} = \dfrac{1}{2} \widehat{ACE}$.

Lại có $\widehat{ABD} = \widehat{ACE}$ nên

$\widehat{ABP} = \widehat{PBD} = \dfrac{1}{2} \widehat{ABD} = \widehat{ACN} = \widehat{NCE} = \dfrac{1}{2} \widehat{ACE}$.

Xét tam giác BME vuông tại E có

$\widehat{EBM} + \widehat{EMB} = 90^{\circ}$

Lại có $\widehat{EBM} = \widehat{NCM}$, $\widehat{EMB} = \widehat{OMC}$ nên

$\widehat{NCM} + \widehat{OMC} =90^{\circ}$

Xét tam giác OMC có

$\widehat{MOC} = 180^{\circ} -\widehat{NCM} - \widehat{OMC}$

$<-> \widehat{MOC} = 90^{\circ}$.

Vậy tam giác OBC vuông tại O.

Mặt khác, ta lại có $\widehat{HBC} = \widehat{HCB}$ (tam giác BHC cân tại H). Suy ra

$\widehat{OBD} + \widehat{DBC} = \widehat{OCE} + \widehat{ECB}$

$<-> \widehat{OBC} = \widehat{OCB}$

Vậy tam giác BOC cân tại O.

Do đó tam giác BOC vuông cân tại O.

d) Xét tam giác ACN và ABP có

$\widehat{ACN} = \widehat{ABP}$, $AC = AB$, $\widehat{A}$ chung.

Vậy tam giác ACN = tam giác ABP (g.c.g)

Suy ra CN = BP.

Lại có OB = OC, suy ra

$CN - CO = BP - BO$

$<-> ON = OP$.

Lại có $\widehat{NOP} = 90^{\circ}$

Suy ra $\widehat{ONP} = 45^{\circ}$.

Ta có tam giác ABD = tam giác ACE nên BD = CE.

Lại có tam giác HBC cân tại H nên HB = HC. Suy ra

$BD - BH = CE - CH$

$<-> DH = HE$

Xét tam giác HEB và HDC có

$HB = HD$, $\widehat{EHB} = \widehat{DHC}$ (đối đỉnh), $HB = HC$.

Vậy tam giác HEB = tam giác HDC (c.g.c)

Lại có BM và CQ là 2 đường phân giác tương ứng của 2 đỉnh nên suy ra BM = CQ.

Mặt khác, ta có OB = OC nên

$OB - BM = OC - CQ$

$<-> OM = OQ$.

Lại có $\widehat{MOQ} = 90^{\circ}$

Vậy tam giác OMQ vuông cân tại O, suy ra $\widehat{OQM} = 45^{\circ}$.

Lại có $\widehat{ONP} = 45^{\circ}$ và 2 góc ở vị trí so le trong nên NP//MQ.

Xét tam giác PBC có $CO \perp BP, BD \perp PC$ và $CO \cap BD = Q$.

Do đó Q là trực tâm tam giác PBC, suy ra $PQ \perp BC$.

CMTT ta cx có $NM \perp BC$.

Vậy $PQ//MN$ (cùng vuông góc BC).

Xét tứ giác MNPQ có $MN//PQ, NP//MQ$ do đó là hình bình hành.

Lại có $MP \perp NQ$ nên tứ giác này là hình thoi.

Suy ra OP là phân giác của $\widehat{NPQ}$.

Lại có $\widehat{NPO} = 45^{\circ}$ (tam giác ONP vuông cân tại O).

Suy ra $\widehat{NPQ} = 2\widehat{NPO} = 90^{\circ}$.

Xét hình thoi MNPQ có $\widehat{NPQ} = 90^{\circ}$. 

Do đó MNPQ là hình vuông.