a) Do D và E lần lượt là trung điểm AB, AC nên DE là đường trung bình tam giác ABC và do đó DE // BC
Vậy BDEC là hình thang.
Mặt khác, do tam giác ABC cân tại A, D và E là trung điểm AB, AC nên ta có
$BD = \dfrac{1}{2} AB = \dfrac{1}{2} AC = EC$
Vậy tứ giác BDEC là hình thang cân.
b) Do I đối xứng F qua E nên FE = EI.
Xét tam giác AEF và IEC có
$\begin{cases}
AE = EC\\
\widehat{AEF} = \widehat{IEC} \, \text{đối đỉnh}\\
EF = EI
\end{cases}$
Vậy tam giác AEF = tam giác CEI, do đó $\widehat{FAE} = \widehat{ICE}$.
Mà 2 góc lại ở vị trí so le trong nên ta có AF // CI.
CMTT với tam giác AIE và CFE ta suy ra AI//CF
Vậy tứ giác AFCI là hình bình hành.
Mặt khác, do tam giác ABC cân và F là trung điểm BC nên AF là đường trung tuyến đồng thời là đường cao của tam giác ABC, do đó $\widehat{AFC} = 90^{\circ}$.
Vậy tứ giác AFCI là hình chữ nhật.
c) Để tứ giác AFCI là hình vuông thì ta cần AF = FE, tức là đường trung tuyến xuất phát từ A bằng một nửa cạnh BC.
Vậy tam giác ABC cần thêm điều kiện vuông tại A.
Vậy để tứ giác AFCI là hình vuông thì tam giác ABC vuông cân tại A.
