a) Xét tam giác AHB và tam giác AHC có :
AH chung
AB = AC ( vì tam giác ABC cân tại A)
HB = HC ( vì H là trung điểm BC)
=> tam giác AHB = tam giác AHC ( c . c . c)
Vậy tam giác AHB = tam giác AHC
b) Vì AB // HK ( gt )
=> góc BAH = góc HAK ( so le trong ) (1)
Vì tam giác ABC cân tại A mà AH là đường trung tuyến của tam giác ABC ( vì H là trung điểm BC )
=> AH đồng thời là đường phân giác và là đường cao của tam giác ABC ( tính chất )
=> góc BAH = góc HAC hay góc BAH = góc HAK ( 2)
Từ (1) , (2) => góc HAK = góc AHK (3) => tam giác KHA cân tại K
Vì AH là đường cao của tam giác ABC ( cm trên)
=> AH vuông góc với BC
=> tam giác AHC vuông tại H
=> góc HAC + góc HCA = 90 độ ( định lý)
hay góc HAK + góc HCK = 90 độ
mà góc AHK + góc KHC = 90 độ (= góc AHC )
=> góc HAK + góc HCK = góc AHK + góc KHC (= 90 độ ) (4)
Từ (3) ; (4) => góc KHC = góc KCH
=> tam giác KHC cân tại K
Vậy tam giác KHC và tam giác KHA cân tại K
c) Ta có : tam giác KHC cân tại K (cm câu b) => KH = KC ( tính chất)
tam giác KHA cân tại K ( cm câu b ) => KH = KA (tính chất)
=> KC = KA ( = KH ) => K là trung điểm AC
Xét tam giác ABC có :
BK là trung tuyến của tam giác ABC ( vì K là trung điểm AC )
AH là trung tuyến của tam giác ABC ( vì H là trung điểm BC)
mà BK giao AH tại G
=> G là trọng tâm của tam giác ABC
=> đpcm
