`A)` Xét $\Delta BMC$ và $\Delta DMA$, ta có:
$\begin {cases} DM = BM(gt) \\ MA = MC (M \text{ là trung điểm của } BC) \\ \widehat{AMD} = \widehat{CMB}(2\text{ góc đối đỉnh}) \end {cases}$

$\Rightarrow \Delta BMC = \Delta DMA(c - g - c)$

$\Rightarrow \widehat{MAD} = \widehat{MCB}$(2 góc tương ứng)

Mà $\widehat{MAD}$ và $\widehat{MCB}$ ở vị trí so le trong

$\Rightarrow AD // BC$

`B)` Xét $\Delta BMA$ và $\Delta DMC$, ta có:
$\begin {cases} DM = BM(gt) \\ MA = MC (M \text{ là trung điểm của } BC) \\ \widehat{AMB} = \widehat{CMD}(2\text{ góc đối đỉnh}) \end {cases}$

$\Rightarrow \Delta BMA = \Delta DMC(c - g - c)$
$\Rightarrow AB = CD$(2 cạnh tương ứng)

Mà $AB = AC(\Delta ABC$ cân tại $A)$

$\Rightarrow AC = CD$

$\Rightarrow \Delta ACD$ cân tại $C$

`C)` Gọi $F$ là giao điểm của $BC$ và $DE$

Ta có: 

$\Delta BMC = \Delta DMA(cmt)$

$\Rightarrow AD = BC$(2 cạnh tương ứng)

Xét $\Delta ABC$ và $\Delta ACD$, ta có:
$\begin {cases} AC\text{ chung} \\ AB = CD(cmt) \\ AD = BC(cmt) \end {cases}$

$\Rightarrow \Delta ABC = \Delta ACD(c - c - c)$

$\Rightarrow \widehat{BAC} = \widehat{ACD}$(2 góc tương ứng)

Ta có:
$\begin {cases} \widehat{BCE} = \widehat{ABC} + \widehat{BAC} (\text{tính chất góc ngoài của tam giác}) \\ \widehat{BCD} = \widehat{ACB} + \widehat{ACD} \\ \widehat{ABC} = \widehat{ACB} (\Delta ABC\text{ cân tại } A) \\ \widehat{BAC} = \widehat{ACD}(cmt) \end {cases}$

$\Rightarrow \widehat{BCE} = \widehat{BCD}$

Ta có:
$\begin {cases} AC = CD(cmt) \\ AC = CE (gt) \end {cases}$

$\Rightarrow CD = CE$

Xét $\Delta BCD$ và $\Delta BCE$, ta có:

$\begin {cases} BC\text{ chung} \\ CD = CE (cmt) \\ \widehat{BCD} = \widehat{BCE} (cmt) \end {cases}$

$\Rightarrow \Delta BCD = \Delta BCE(c - g - c)$

$\Rightarrow BD = BE$(2 cạnh tương ứng)

Ta có:
$\Delta BCD = \Delta BCE(cmt)$

$\Rightarrow \widehat{DBC} = \widehat{EBC}$(2 góc tương ứng)

Xét $\Delta BDF$ và $\Delta BEF$, ta có:
$\begin {cases} BD = BE (cmt) \\ \widehat{DBF} = \widehat{EBF}(cmt) \\ BF\text{ chung} \end {cases}$

$\Rightarrow \Delta BDF = \Delta BEF (c - g - c)$

$\Rightarrow DF = EF$(2 cạnh tương ứng)

$\Rightarrow F$ là trung điểm của $DE$

$\Rightarrow BF$ là đường trung tuyến của $\Delta BDE$

Ta có: $MB = MD$

$\Rightarrow M$ là trung điểm của $BD$

$\Rightarrow EM$ là đường trung tuyến của $\Delta BDE$

Xét $\Delta BDE$, ta có:
$\begin {cases} BF\text{ là đường trung tuyến của } \Delta BDE \\ EM\text{ là đường trung tuyến của } \Delta BDE \\ BF\text{ cắt } DE \text{ tại } C \end {cases}$

$\Rightarrow C$ là trọng tâm của $\Delta BDE$

$\Rightarrow DC$ đi qua trung điểm $I$ của $BE$